Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.29 t^{3} \ddot{y}+3 t^{2} \ddot{y}=1 sabendo que 1 / t, 1 e t são três soluções linearmente independentes da equação homogênea associada.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para tornar o sistema manejável impõe-se condições auxiliares que anulam termos com u_i' nas derivadas intermediárias.
Passo 3
Derivo y_{p} e imponho as condições usuais de variação de parâmetros. Primeiro:
Integrando (podemos escolher a constante de integração zero porque qualquer constante multiplica a solução fundamental e será absorvida pela solução homogênea):
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea (combinação linear das três soluções fundamentais) com a solução particular: