Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
12.29 t^{3} \ddot{y}+3 t^{2} \ddot{y}=1 sabendo que 1 / t, 1 e t são três soluções linearmente independentes da equação homogênea associada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial não homogênea dada:
t^{3}y^{(3)}+3t^{2}y''=1.
  • O enunciado afirma que as funções
y_{1}(t)=\frac{1}{t},\qquad y_{2}(t)=1,\qquad y_{3}(t)=t
são três soluções linearmente independentes da equação homogênea associada (ou seja da equação com o lado direito igual a zero).
O que se pede:
  • Determinar a solução geral da equação não homogênea, isto é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente líder igual a 1), dividindo por t^{3} (assumindo t\neq0):
y''' + \frac{3}{t}\,y''=\frac{1}{t^{3}}.
Vou procurar uma solução particular pelo método da variação de parâmetros para equação de terceira ordem. A ideia é procurar
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+u_{3}(t)y_{3}(t),
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para tornar o sistema manejável impõe-se condições auxiliares que anulam termos com u_i' nas derivadas intermediárias.

Passo 3

Derivo y_{p} e imponho as condições usuais de variação de parâmetros. Primeiro:
y_{p}'=\sum_{i=1}^{3}u_i' y_i + \sum_{i=1}^{3}u_i y_i'.
Imponho duas condições auxiliares para simplificar:
u_1' y_1 + u_2' y_2 + u_3' y_3 = 0,
u_1' y_1' + u_2' y_2' + u_3' y_3' = 0.
Com essas, fica y_{p}'=\sum_{i=1}^{3}u_i y_i'. Derivando novamente:
y_{p}''=\sum_{i=1}^{3}u_i' y_i' + \sum_{i=1}^{3}u_i y_i''.
Derivo uma terceira vez (usando as condições para eliminar termos) e, ao comparar com a equação padrão, a condição final para os u_i' é
u_1' y_1'' + u_2' y_2'' + u_3' y_3'' = \frac{1}{t^{3}}.
Portanto obtemos o sistema para u_1',u_2',u_3':
\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 + u_3' y_3 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' + u_3' y_3' = 0,\\[4pt] u_1' y_1'' + u_2' y_2'' + u_3' y_3'' = \dfrac{1}{t^{3}}. \end{cases}]

Passo 4

Substituir as soluções fundamentais e suas derivadas no sistema. Calculando derivadas:
y_1=\frac{1}{t}\Rightarrow y_1'=-\frac{1}{t^{2}},\quad y_1''=\frac{2}{t^{3}}.
y_2=1\Rightarrow y_2'=0,\quad y_2''=0.
y_3=t\Rightarrow y_3'=1,\quad y_3''=0.
Substituindo no sistema:
\begin{cases} u_1'\dfrac{1}{t}+u_2'+u_3' t = 0,\\[6pt] u_1'\left(-\dfrac{1}{t^{2}}\right)+u_3' = 0,\\[6pt] u_1'\dfrac{2}{t^{3}} = \dfrac{1}{t^{3}}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema obtido. Começo pela terceira equação, que é imediata:
u_1'\dfrac{2}{t^{3}}=\dfrac{1}{t^{3}}\quad\Rightarrow\quad u_1'=\frac{1}{2}.
Integrando (podemos escolher a constante de integração zero porque qualquer constante multiplica a solução fundamental e será absorvida pela solução homogênea):
u_1(t)=\int \frac{1}{2}\,dt=\frac{t}{2}.

Passo 6

Usar a segunda equação para obter u_3':
-\frac{1}{t^{2}}u_1' + u_3' = 0 \quad\Rightarrow\quad u_3' = \frac{1}{t^{2}}u_1' = \frac{1}{t^{2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2t^{2}}.
Integro (desprezando constante de integração, por mesmo motivo):
u_3(t)=\int \frac{1}{2t^{2}}\,dt = -\frac{1}{2t}.

Passo 7

Finalmente uso a primeira equação para u_2':
\frac{1}{t}u_1' + u_2' + t u_3' = 0.
Substituo u_1'=\tfrac{1}{2} e u_3'=\tfrac{1}{2t^{2}}:
\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{2} + u_2' + t\cdot\frac{1}{2t^{2}} = 0
\frac{1}{2t} + u_2' + \frac{1}{2t} = 0 \quad\Rightarrow\quad u_2' + \frac{1}{t}=0.
Logo
u_2'=-\frac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad u_2(t)= -\ln t
(mais uma vez tomando a constante de integração zero para obter uma particular).

Passo 8

Montar a solução particular y_{p}:
y_{p}=u_1 y_1 + u_2 y_2 + u_3 y_3.
Substituindo os u_i e y_i:
y_{p}=\left(\frac{t}{2}\right)\left(\frac{1}{t}\right) + (-\ln t)\cdot 1 + \left(-\frac{1}{2t}\right)\cdot t.
Calcular termo a termo:
\left(\frac{t}{2}\right)\left(\frac{1}{t}\right)=\frac{1}{2},\qquad \left(-\frac{1}{2t}\right)\cdot t=-\frac{1}{2},
portanto esses dois se cancelam e sobra
y_{p}=-\ln t.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea (combinação linear das três soluções fundamentais) com a solução particular:
y(t)=C_{1}\frac{1}{t}+C_{2}\cdot 1 + C_{3}t + y_{p}(t).
Substituindo y_{p}=-\ln t obtemos a solução geral final.

Resposta

y(t)=\frac{C_{1}}{t}+C_{2}+C_{3}\,t-\ln t

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