Utilize o método de variação de parâmetros para o seguinte problema:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por:
Esse exercício utiliza o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para resolver, precisaremos entender a solução da equação homogênea associada e aplicar o método para encontrar a solução geral completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução geral dessa equação homogênea tem a forma:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular
da equação não homogênea:
Assumimos que a solução particular pode ser escrita como:
Onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 4
Para encontrar
e
, utilizamos as seguintes equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Passo 5
Integrando
e
, obtemos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Passo 7
Aplicando
:
Aplicando
:
Calculamos a derivada de
e avaliamos em
:
Avaliando em
:
Como
, temos
. Substituindo:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: