Utilize o método de variação de parâmetros para o seguinte problema:
y^prime prime-4 y=sen(x), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem dada por:
y'' - 4y = sin(x), y(0) = 0, y'(0) = 0
Esse exercício utiliza o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para resolver, precisaremos entender a solução da equação homogênea associada e aplicar o método para encontrar a solução geral completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 4y = 0
A solução geral dessa equação homogênea tem a forma:
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular y'' - 4y = sin(x) da equação não homogênea:
yp(x) = u1(x) e^2x + u2(x) e^-2x
Assumimos que a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 4

Para encontrar u1'(x) e^2x + u2'(x) e^-2x = 0 e u1'(x) cdot 2 e^2x + u2'(x) cdot (-2) e^-2x = sin(x) , utilizamos as seguintes equações:
u1'(x) = -sin(x) e^-2x4
u2'(x) = sin(x) e^2x4
Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 5

Integrando u1(x) = -14 integral sin(x) e^-2x dx = -14 cdot -2 sin(x) - cos(x)5 = 2 sin(x) + cos(x)20 e u2(x) = 14 integral sin(x) e^2x dx = 14 cdot 2 sin(x) - cos(x)5 = 2 sin(x) - cos(x)20 , obtemos:
yp(x) = ( 2 sin(x) + cos(x)20 ) e^2x + ( 2 sin(x) - cos(x)20 ) e^-2x
Portanto, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + ( 2 sin(x) + cos(x)20 ) e^2x + ( 2 sin(x) - cos(x)20 ) e^-2x
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar e .

Passo 7

Aplicando 0 = C1 + C2 + ( 2 cdot 0 + 120 ) + ( 2 cdot 0 - 120 ) implies C1 + C2 = 0 :
y'(x) = 2C1 e^2x - 2C2 e^-2x + ( 2 cos(x) - sin(x)20 ) e^2x + ( 2 cos(x) + sin(x)20 ) e^-2x
Aplicando 0 = 2C1 - 2C2 + 2 cdot 1 - 020 + 2 cdot 1 + 020 implies 2C1 - 2C2 + 420 = 0 :
Calculamos a derivada de 2C1 + 2C1 + 15 = 0 implies 4C1 = -15 implies C1 = -120 e avaliamos em :
Avaliando em :
Como , temos . Substituindo:
Portanto, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -120 e^2x + 120 e^-2x + ( 2 sin(x) + cos(x)20 ) e^2x + ( 2 sin(x) - cos(x)20 ) e^-2x

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