Resolva a equação:
y^(4)-y=1, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem:
y^(4) - y = 1
Usaremos métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, além de aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y^(4) - y = 0
Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo r^4 - 1 = 0 na equação homogênea:
r^4 = 1 implies r = 1, -1, i, -i
Resolvendo para :
Essas são as raízes da equação característica.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yc = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos x + C4 sin x
onde são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular y^(4) - y = 1 para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante: .

Passo 6

Derivando yp^(4) - yp = 0 - K = 1 implies K = -1 , obtemos:
Portanto, a solução particular é .

Passo 7

A solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y = yc + yp = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos x + C4 sin x - 1

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y(0) = 1, y^prime(0) = 0, y^prime prime(0) = 1, y^prime prime prime(0) = 1 .
As condições são:

Passo 9

Calculando y(0) = C1 + C2 + C3 - 1 = 1 implies C1 + C2 + C3 = 2 :

Passo 10

Derivando y' = C1 e^x - C2 e^-x - C3 sin x + C4 cos x para encontrar C1 - C2 + C4 = 0 :
Aplicando :

Passo 11

Derivando y'' = C1 e^x + C2 e^-x - C3 cos x - C4 sin x para encontrar C1 + C2 - C3 = 1 :
Aplicando :

Passo 12

Derivando y''' = C1 e^x - C2 e^-x + C3 sin x - C4 cos x para encontrar C1 - C2 - C4 = 1 :
Aplicando :

Passo 13

Agora temos o seguinte sistema de equações:
C1 + C2 + C3 = 2 C1 - C2 + C4 = 0 C1 + C2 - C3 = 1 C1 - C2 - C4 = 1

Passo 14

Somando a segunda e a quarta equação:
(C1 - C2 + C4) + (C1 - C2 - C4) = 0 + 1 implies 2C1 - 2C2 = 1 implies C1 - C2 = 12

Passo 15

Subtraindo a terceira equação da primeira:
(C1 + C2 + C3) - (C1 + C2 - C3) = 2 - 1 implies 2C3 = 1 implies C3 = 12
Com C1 + C2 - 12 = 1 implies C1 + C2 = 32 , da terceira equação:
C1 = 12 + C2
E da equação 12 + C2 + C2 = 32 implies 2C2 = 1 implies C2 = 12 , resolvemos:
C1 = 12 + 12 = 1
Substituindo na equação :
Então,

Passo 16

Finalmente, usando a segunda equação:
1 - 12 + C4 = 0 implies C4 = -12

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = e^x + 12 e^-x + 12 cos x - 12 sin x - 1

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