Vamos resolver a equação diferencial de quarta ordem:
Usaremos métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa, além de aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo para :
Essas são as raízes da equação característica.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular constante: .
Passo 6
Derivando , obtemos:
Portanto, a solução particular é .
Passo 7
A solução geral completa da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes .