Utilize uma mudança de variáveis conveniente, x=x(u, v) e y=y(u, v), para calcular as integrais:
\iint_{D}(x-y)^{2} \operatorname{sen}(x+y) d x d y, D é o paralelogramo de vértices (\pi, 0),(2 \pi, \pi),(\pi, 2 \pi) e (0, \pi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x-y)^{2}\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy
onde D é o paralelogramo de vértices (\pi,0), (2\pi,\pi), (\pi,2\pi) e (0,\pi). Vamos usar mudança de variáveis adequada a esse tipo de domínio, escolhendo
u = x + y, \quad v = x - y,
de modo que o novo domínio em (u,v) seja um retângulo, facilitando o cálculo da integral.

Passo 2

Definimos
u = x + y, \quad v = x - y.
Invertemos para encontrar x e y em função de u,v:
x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{u-v}{2}.
Nos vértices originais obtemos em (u,v): (\pi,0)\mapsto(u,v)=(\pi,\pi), (2\pi,\pi)\mapsto(3\pi,\pi), (\pi,2\pi)\mapsto(3\pi,-\pi), (0,\pi)\mapsto(\pi,-\pi).
Logo o novo domínio é
\{(u,v)\mid \pi\le u\le3\pi,\,-\pi\le v\le\pi\},
um retângulo.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação:
x_u = \tfrac12,\; x_v = \tfrac12,\; y_u = \tfrac12,\; y_v = -\tfrac12,
logo
J = \det\begin{pmatrix}x_u & x_v\y_u & y_v\end{pmatrix} = \frac12\bigl(-\tfrac12\bigr)-\frac12\cdot\tfrac12 = -\frac12.
Assim dx\,dy = |J|\,du\,dv = \tfrac12\,du\,dv.

Passo 4

Na nova variável a integranda fica
(x-y)^{2}\,\operatorname{sen}(x+y) = v^{2}\,\operatorname{sen} u,
portanto
\iint_{D}(x-y)^{2}\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy = \int_{u=\pi}^{3\pi}\int_{v=-\pi}^{\pi}v^{2}\,\operatorname{sen} u\;\frac12\,dv\,du.

Passo 5

Separamos as integrais pois v^2 e \operatorname{sen} u estão em variáveis distintas:
\int_{v=-\pi}^{\pi}v^{2}\,dv = 2\int_{0}^{\pi}v^{2}\,dv = 2\bigl[\tfrac{v^{3}}{3}\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac{2\pi^{3}}{3}.
Logo a integral torna-se
\frac12\cdot\frac{2\pi^{3}}{3}\int_{\pi}^{3\pi}\operatorname{sen} u\,du = \frac{\pi^{3}}{3}\int_{\pi}^{3\pi}\operatorname{sen} u\,du.

Passo 6

Calculemos a integral em u:
\int_{\pi}^{3\pi}\operatorname{sen} u\,du = \bigl[-\cos u\bigr]_{\pi}^{3\pi} = \bigl(-\cos(3\pi)\bigr)-\bigl(-\cos(\pi)\bigr) = -(-1)-(-(-1)) = 1-1 = 0.
Portanto todo o valor da integral é zero.

Resposta

O valor da integral é 0.

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