Utilize uma mudança de variáveis conveniente,
e
, para calcular as integrais:
é o paralelogramo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o paralelogramo de vértices
,
,
e
. Vamos usar mudança de variáveis adequada a esse tipo de domínio, escolhendo
de modo que o novo domínio em
seja um retângulo, facilitando o cálculo da integral.
Passo 2
Definimos
Invertemos para encontrar
e
em função de
:
Nos vértices originais obtemos em
:
,
,
,
.
Logo o novo domínio é
Logo o novo domínio é
um retângulo.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação:
logo
Assim
.
Passo 4
Na nova variável a integranda fica
portanto
Passo 5
Separamos as integrais pois
e
estão em variáveis distintas:
Logo a integral torna-se
Passo 6
Calculemos a integral em
:
Portanto todo o valor da integral é zero.
Resposta
O valor da integral é
.