Utilize uma mudança de variáveis conveniente, x=x(u, v) e y=y(u, v), para calcular as integrais: \iint_{D} \frac{y}{x^{2}} \ln (x+y) d x d y sendo D a região limitada pelas retas x+y=1, x+y=2, x=y, y=0. Desenhe as regiões de integração em x y e em u v. (Sugestão: y / x=u ; x+y=v ).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{y}{x^{2}}\ln(x+y)\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas retas \,x+y=1, \,x+y=2, \,x=y e \,y=0.
Vamos usar mudança de variáveis do tipo
u = \frac{y}{x},\quad v = x+y,
para simplificar o integrando e a descrição da região.
Passo 2
Precisamos expressar (x,y) em função de (u,v). Como
y = u\,x \quad\text{e}\quad v = x+y = x + u\,x = x\,(1+u),
segue
x = \frac{v}{1+u}, \quad y = u\,x = \frac{u\,v}{1+u}.
Agora transformamos a região D. As fronteiras em (x,y) viram retas em (u,v):
- x+y=1 dá v=1.
- x+y=2 dá v=2.
- x=y dá u=1.
- y=0 dá u=0.
Logo, em (u,v) a região é o retângulo