Utilize uma mudança de variáveis conveniente, x=x(u, v) e y=y(u, v), para calcular as integrais:
\iint_{D} \frac{y}{x^{2}} \ln (x+y) d x d y sendo D a região limitada pelas retas x+y=1, x+y=2, x=y, y=0. Desenhe as regiões de integração em x y e em u v. (Sugestão: y / x=u ; x+y=v ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{y}{x^{2}}\ln(x+y)\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas retas \,x+y=1, \,x+y=2, \,x=y e \,y=0.
Vamos usar mudança de variáveis do tipo
u = \frac{y}{x},\quad v = x+y,
para simplificar o integrando e a descrição da região.

Passo 2

Precisamos expressar (x,y) em função de (u,v). Como
y = u\,x \quad\text{e}\quad v = x+y = x + u\,x = x\,(1+u),
segue
x = \frac{v}{1+u}, \quad y = u\,x = \frac{u\,v}{1+u}.
Em seguida, vamos calcular o jacobiano
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.

Passo 3

Derivadas parciais:
x_{u} = -\frac{v}{(1+u)^{2}},\quad x_{v} = \frac{1}{1+u},
y_{u} = \frac{v}{(1+u)^{2}},\quad y_{v} = \frac{u}{1+u}.
Logo
J = x_{u}y_{v} - x_{v}y_{u} = -\frac{v}{(1+u)^{2}}\cdot\frac{u}{1+u} - \frac{1}{1+u}\cdot\frac{v}{(1+u)^{2}} = -\frac{v}{(1+u)^{2}}.
Portanto
\bigl|J\bigr| = \frac{v}{(1+u)^{2}}.

Passo 4

Agora transformamos a região D. As fronteiras em (x,y) viram retas em (u,v):
- x+y=1 v=1.
- x+y=2 v=2.
- x=y u=1.
- y=0 u=0.
Logo, em (u,v) a região é o retângulo
0 \le u \le 1, \quad 1 \le v \le 2.

Passo 5

Transformamos o integrando. Note que
\frac{y}{x^{2}} = \frac{y/x}{x} = u\;\frac{1}{x} = u\;\frac{1+u}{v},
e \ln(x+y)=\ln(v). Assim
\frac{y}{x^{2}}\ln(x+y)\,dx\,dy = u\,\frac{1+u}{v}\,\ln(v)\;\bigl|J\bigr|\,du\,dv = u\,\frac{1+u}{v}\,\ln(v)\;\frac{v}{(1+u)^{2}}\,du\,dv = \frac{u}{1+u}\,\ln(v)\,du\,dv.
Portanto a integral vira
\int_{u=0}^{1}\int_{v=1}^{2}\frac{u}{1+u}\,\ln(v)\,dv\,du.

Passo 6

Podemos separar as integrais, pois o integrando é produto de função de u por função de v:
\int_{0}^{1}\frac{u}{1+u}\,du \;\times\; \int_{1}^{2}\ln(v)\,dv.
Calculamos primeiro
\int_{1}^{2}\ln(v)\,dv = \Bigl[v\ln(v)-v\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(2\ln2-2\bigr)-\bigl(1\cdot0-1\bigr) =2\ln2-2+1 =2\ln2-1.

Passo 7

E depois
\int_{0}^{1}\frac{u}{1+u}\,du = \int_{0}^{1}\Bigl(1-\frac{1}{1+u}\Bigr)\,du = \Bigl[u-\ln(1+u)\Bigr]_{0}^{1} =1-\ln2.

Passo 8

Multiplicando os resultados, obtemos
\Bigl(1-\ln2\Bigr)\,\Bigl(2\ln2-1\Bigr).

Resposta

\iint_{D}\frac{y}{x^{2}}\ln(x+y)\,dx\,dy =\bigl(1-\ln2\bigr)\,\bigl(2\ln2-1\bigr).

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