Exercício 6, III.4, pg 135. Faça um esboço da região plana, D, e calcule a:
\iint_{D} 2 x y d A, D) é a região limitada pelas curvas de equação y=e^{x^{2}} e y=0, com 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região \displaystyle D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le e^{x^2}\}
e calcular o integral
\iint_{D}2x\,y\,dA.
O conteúdo é mudança para integral iterada em coordenadas cartesianas: a gente vai descrever D em termos de x e y e aplicar o Teorema de Fubini.

Passo 2

Para esboçar D, note que em cada x\in[0,1] o y varia de 0 até e^{x^2}. O gráfico de y=e^{x^2} é uma curva que sobe de y=1 em x=0 até y=e em x=1. Assim o integral vira
\iint_{D}2x\,y\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{e^{x^2}}2x\,y\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{e^{x^2}}2x\,y\,dy =2x\;\frac{y^2}{2}\Bigg|_{0}^{e^{x^2}} =x\,\bigl(e^{x^2}\bigr)^2 =x\,e^{2x^2}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}x\,e^{2x^2}\,dx.
Use a substituição u=x^2, du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac12\,du. Então
\int_{0}^{1}x\,e^{2x^2}\,dx =\tfrac12\int_{u=0}^{1}e^{2u}\,du =\tfrac12\cdot\frac{e^{2u}}{2}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr).

Resposta

\iint_{D}2x\,y\,dA =\frac{e^{2}-1}{4}.

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