Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
b) \int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}} \int_{-\sqrt{\pi-y^{2}}}^{\sqrt{\pi-y^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y[2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{y=-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}} \int_{x=-\sqrt{\pi-y^2}}^{\sqrt{\pi-y^2}} \sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\,dx\,dy,
que é a integral de \sin(x^2+y^2) sobre o disco de raio \sqrt{\pi}.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
com Jacobiano r. O domínio vira
0 \le r \le \sqrt{\pi},\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Em polares a integral fica
\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{\pi}} \sin\bigl(r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para a parte em r usamos u = r^2, du = 2r\,dr. Assim
\int_{r=0}^{\sqrt{\pi}} \sin\bigl(r^2\bigr)\,r\,dr = \tfrac12\int_{u=0}^{\pi}\sin(u)\,du = \tfrac12\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi} = \tfrac12\bigl(-\cos\pi + \cos0\bigr) = \tfrac12(1+1) =1.
Portanto a integral completa vale
\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi.

Resposta

2\pi

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