Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
a) \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} d y d x (classe)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
I = \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}\;dy\;dx
usando mudança de variáveis para coordenadas polares. O conteúdo aqui é integração em coordenadas polares, em que precisamos identificar a região de integração em termos de (r,\theta), aplicar o fator jacobiano e, em seguida, avaliar a integral resultante.

Passo 2

A região de integração em (x,y) é o quarto de um disco de raio 2 no primeiro quadrante, pois 0 \le x \le 2 e 0 \le y \le \sqrt{4-x^{2}}. Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2} e r de 0 a 2.

Passo 3

Substituindo na integral, o integrando \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} vira \sqrt{4 - r^{2}} e dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Logo
I = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{2} \sqrt{4 - r^{2}}\;r\;dr\;d\theta.

Passo 4

Calcular a integral no raio:
\int_{0}^{2} r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr.
Fazemos u = 4 - r^{2}, então du = -2r\,dr, e quando r=0, u=4; quando r=2, u=0. Assim
\int_{0}^{2} r\,\sqrt{4 - r^{2}}\;dr = -\frac12 \int_{4}^{0} u^{1/2}\;du = \frac12 \int_{0}^{4} u^{1/2}\;du = \frac12\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{4} = \frac{1}{3}\,4^{3/2} = \frac{8}{3}.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{8}{3}\;d\theta = \frac{8}{3}\,\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{8}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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