Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
c) \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} e^{-x^{2}-y^{2}} d y d x (classe)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}e^{-x^{2}-y^{2}}\,dy\,dx
usando mudança para coordenadas polares. O conteúdo é integração dupla sobre a região D que é o disco de raio 2 centrado na origem, e vamos precisar do jacobiano r e da representação
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.

Passo 2

Descrevemos a região D em coordenadas polares. Como (x,y) varia dentro do círculo x^{2}+y^{2}\le4, temos
0 \le r \le 2, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Em coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Logo a integral vira
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição u = r^{2}, du = 2r\,dr, logo
\int_{0}^{2} r\,e^{-r^{2}}\,dr = \frac12\int_{u=0}^{u=4} e^{-u}\,du = \frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{4} = \frac12\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Passo 5

Agora voltamos à integral completa:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\Bigl[\tfrac12(1 - e^{-4})\Bigr]\,d\theta = \frac12(1 - e^{-4})\cdot 2\pi = \pi\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

Resposta

\pi\bigl(1 - e^{-4}\bigr).

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