Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
l) \iint_{D} y x d x d y, sendo D a região interior a x^{2}+y^{2}=4, \operatorname{com} x \geq 1. (classe)

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{D} x\,y \,dx\,dy,
onde D é o disco de raio 2 centrado na origem sujeito a x\ge1. Vamos usar coordenadas polares, definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
com jacobiano dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Precisamos descrever D em (r,\theta):
  • Pelo círculo x^2+y^2\le4, temos 0\le r\le2.
  • A condição x\ge1 vira r\cos\theta\ge1, ou seja r\ge1/\cos\theta.
    Para que 1/\cos\theta\le2 seja possível, exigimos \cos\theta\ge1/2, isto é
-\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{\pi}{3}.
Logo
\theta\in\bigl[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr], \qquad r\in\bigl[\,1/\cos\theta,\;2\bigr].

Passo 3

Em coordenadas polares a integral fica
\iint_{D} x\,y\,dx\,dy =\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\!\!\int_{r=1/\cos\theta}^{2} \bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\!\int_{1/\cos\theta}^{2}r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos em r:
\int r^{3}\,dr=\frac{r^{4}}{4},
então
\int_{1/\cos\theta}^{2}r^{3}\,dr =\frac{2^{4}}{4}-\frac{(1/\cos\theta)^{4}}{4} =4-\frac{1}{4\cos^{4}\theta}.
Substituindo, a integral em \theta é
\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \Bigl(4-\tfrac{1}{4\cos^{4}\theta}\Bigr)\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\Bigl(4\cos\theta\sin\theta -\tfrac{\sin\theta}{4\cos^{3}\theta}\Bigr)d\theta.

Passo 5

Calculamos antiderivadas em \theta:
\int\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\frac12\sin^{2}\theta, \qquad \int\sin\theta\,\cos^{-3}\theta\,d\theta =\frac{1}{2\cos^{2}\theta}.
Logo uma primitiva de 4\cos\theta\sin\theta - \tfrac{\sin\theta}{4\cos^{3}\theta} é
2\sin^{2}\theta \;-\;\frac{1}{8\cos^{2}\theta}.

Passo 6

Avaliamo-la em \theta=-\pi/3 e \theta=\pi/3. Como \sin^{2}(\pm\pi/3)=3/4 e \cos^{2}(\pm\pi/3)=1/4, em ambos os limites obtemos
2\cdot\tfrac{3}{4}-\frac{1}{8\cdot\frac14} =\tfrac32-\tfrac12=1.
A diferença entre os valores superior e inferior é 1-1=0.

Resposta

0.

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