Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
l)
, sendo
a região interior a
. (classe)
l)
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o disco de raio
centrado na origem sujeito a
. Vamos usar coordenadas polares, definidas por
com jacobiano
.
Passo 2
Precisamos descrever
em
:
- Pelo círculo
, temos . - A condição
vira , ou seja .
Para queseja possível, exigimos , isto é
Logo
Passo 3
Em coordenadas polares a integral fica
Passo 4
Integramos em
:
então
Substituindo, a integral em
é
Passo 5
Calculamos antiderivadas em
:
Logo uma primitiva de
é
Passo 6
Avaliamo-la em
e
. Como
e
, em ambos os limites obtemos
A diferença entre os valores superior e inferior é
.