Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
j)
, sendo
a região interior a
que fica acima da reta
.
j)
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é o disco de raio
centrado na origem limitado pela reta
, ficando na parte “acima” dessa reta. Vamos usar coordenadas polares, em que
Passo 2
Precisamos descrever
em polares. A condição “dentro de
” vira
. A desigualdade “acima de
” é
o que em
corresponde a
Passo 3
Na integral em coordenadas polares, substituímos
logo o integrando
fica
Assim
Passo 4
Calcule a integral em
:
Logo a integral dupla reduz-se a
Passo 5
Agora integramos em
:
Multiplicando por
dá