Utilize a mudança de variáveis para coordenadas polares para calcular as integrais:
j) \iint_{R} x d x d y, sendo R a região interior a x^{2}+y^{2}=4 que fica acima da reta y=\sqrt{3} x. [-8 \sqrt{3} / 3]

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{R} x\,dx\,dy
onde R é o disco de raio 2 centrado na origem limitado pela reta y=\sqrt{3}\,x, ficando na parte “acima” dessa reta. Vamos usar coordenadas polares, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Precisamos descrever R em polares. A condição “dentro de x^2+y^2=4” vira 0\le r\le2. A desigualdade “acima de y=\sqrt{3}\,x” é
r\sin\theta > \sqrt{3}\,r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta > \sqrt{3}
o que em [0,2\pi) corresponde a
\theta\in\Bigl(\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{\pi}{3}+\pi\Bigr) =\Bigl(\tfrac{\pi}{3},\,\tfrac{4\pi}{3}\Bigr).

Passo 3

Na integral em coordenadas polares, substituímos
x = r\cos\theta, \quad dx\,dy = r\,dr\,d\theta,
logo o integrando x\,dx\,dy fica
r\cos\theta\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = r^2\cos\theta\,dr\,d\theta.
Assim
\iint_{R} x\,dx\,dy = \int_{\theta=\pi/3}^{4\pi/3}\!\int_{r=0}^{2} r^2\cos\theta\;dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule a integral em r:
\int_{0}^{2} r^2\,dr = \Bigl[\tfrac{r^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \tfrac{8}{3}.
Logo a integral dupla reduz-se a
\frac{8}{3}\int_{\pi/3}^{4\pi/3}\cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \theta:
\int_{\pi/3}^{4\pi/3}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/3}^{4\pi/3} = \sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = \bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)-\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\sqrt{3}.
Multiplicando por \tfrac{8}{3}
\iint_{R} x\,dx\,dy = \frac{8}{3}\,\bigl(-\sqrt{3}\bigr) = -\frac{8\sqrt{3}}{3}.

Resposta

-\frac{8\sqrt{3}}{3}

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