Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios 5 e 6 da Lista de Exercícios 7.
Determine a menor distância entre o ponto (2,0,-3) e o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto (2,0,-3) e o plano ,x+y+z=1. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao quadrado, pois é mais simples, sob a restrição do plano.

Passo 2

Definimos a função a minimizar
f(x,y,z) = (x-2)^2 + y^2 + (z+3)^2
e a restrição
g(x,y,z) = x + y + z - 1 = 0
O Lagrangeano é
L(x,y,z,lambda) = (x-2)^2 + y^2 + (z+3)^2 + lambda,(x+y+z-1)
As condições de ótimo são
partial Lpartial x = 2(x-2) + lambda = 0, partial Lpartial y = 2y + lambda = 0, partial Lpartial z = 2(z+3) + lambda = 0

Passo 3

Das três equações obtemos
2(x-2) + lambda = 0 implies x = 2 - lambda2,
2y + lambda = 0 implies y = -lambda2,
2(z+3) + lambda = 0 implies z = -3 - lambda2

Passo 4

Usamos a restrição x+y+z=1:
l(2 - lambda2r) + l(-lambda2r) + l(-3 - lambda2r) = 1
-1 - 3lambda2 = 1 Longrightarrow 3lambda2 = -2 Longrightarrow lambda = -43

Passo 5

Substituindo lambda = -tfrac43:
x = 2 - -4/32 = 2 + 23 = 83, y = --4/32 = 23, z = -3 - -4/32 = -3 + 23 = -73
Este é o ponto do plano mais próximo de (2,0,-3).

Passo 6

A distância mínima d é
d = raiz(x-2)^2 + y^2 + (z+3)^2 = raizl(83-2r)^2 + l(23r)^2 + l(-73+3r)^2 = raiz3cdotl(23r)^2 = 2raiz3

Resposta

A menor distância é 2raiz3.

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