Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios 5 e 6 da Lista de Exercícios 7.
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
Determine a menor distância entre o ponto
Passo 1
O enunciado pede a menor distância entre o ponto
e o plano
. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar a função distância ao quadrado, pois é mais simples, sob a restrição do plano.
Passo 2
Definimos a função a minimizar
e a restrição
O Lagrangeano é
As condições de ótimo são
Passo 3
Das três equações obtemos
Passo 4
Usamos a restrição
:
Passo 5
Substituindo
:
Este é o ponto do plano mais próximo de
.
Passo 6
A distância mínima
é
Resposta
A menor distância é
.