Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da funçāo sujeita à(s) restriçāo(ōes) dada(s).
f(x, y)=e^{57} ; x^{3}+y^{3}=16

Passo 1

O enunciado dá explicitamente a função e a restrição e pede os extremos sob essa restrição. Em forma clara:
  • Função a otimizar: f(x,y)=e^{57}.
  • Restrição (igualdade): x^{3}+y^{3}=16.
O que é pedido:
  • Determinar os valores máximo e mínimo de f sujeitos à restrição x^{3}+y^{3}=16.
  • (Se for pertinente) indicar onde esses extremos ocorrem.

Passo 2

Breve aula sobre o método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática, sem jargões inúteis).
  • Quando queremos otimizar uma função f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, a ideia é que, em pontos de extremo interior do conjunto restrito, o gradiente de f fica paralelo ao gradiente de g. Isso leva ao sistema
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)
junto com a própria restrição g(x,y)=0. Aqui:
  • \nabla f(x,y)=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) é o vetor gradiente de f;
  • \nabla g(x,y)=(\partial g/\partial x,\;\partial g/\partial y) é o vetor gradiente de g;
  • \lambda é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a proporcionalidade).
  • Resumindo: resolvemos o sistema formado pelas duas equações do gradiente (duas componentes) e pela restrição, obtendo candidatos a extremos. Depois verificamos qual deles realmente dá máximo ou mínimo (aqui ferramentas adicionais podem ser usadas, mas em muitos casos a própria observação do valor de f já resolve).

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema dado.
  • Definimos g(x,y)=x^{3}+y^{3}-16 (assim a restrição é g(x,y)=0).
  • Calculamos os gradientes:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right), \qquad \nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right).
  • Como f(x,y)=e^{57} é uma constante (não depende de x nem de y), suas derivadas parciais são zero. Logo
\nabla f(x,y)=(0,0).
  • Para g temos
\frac{\partial g}{\partial x}=3x^{2},\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=3y^{2},
portanto
\nabla g(x,y)=(3x^{2},\,3y^{2}).

Passo 4

Escrevendo o sistema de Lagrange e resolvendo-o.
  • A condição \nabla f=\lambda\,\nabla g dá o sistema
(0,0)=\lambda\,(3x^{2},3y^{2}).
Isto é, as duas equações escalares são
0=\lambda\cdot 3x^{2},\qquad 0=\lambda\cdot 3y^{2}.
  • Essas equações implicam que, para cada componente, ou \lambda=0 ou a componente x (ou y) é zero. Mas note o seguinte importante: como \nabla f é o vetor nulo, a condição \nabla f=\lambda\nabla g é satisfeita para qualquer \lambda sempre que \nabla g seja o vetor nulo também, e se \nabla g não for nulo a igualdade só pode ocorrer com \lambda=0. Em resumo, não existe uma restrição isolante sobre (x,y) vinda dessas equações além da própria restrição g(x,y)=0.
  • Conclusão do passo algébrico: o sistema de Lagrange não impõe pontos isolados adicionais — todos os pontos que satisfazem a restrição x^{3}+y^{3}=16 são candidatos, porque \nabla f=(0,0) torna a igualdade trivialmente satisfeita (com \lambda=0 ou diversos outros casos).
  • Observação prática: como f é constante, não faz sentido procurar um ponto onde f seja “maior” ou “menor” localmente — todos os pontos viáveis dão exatamente o mesmo valor de f.

Passo 5

Interpretação e verificação final — por que isso resolve o problema.
  • Como f(x,y)=e^{57} é a mesma quantidade para qualquer (x,y) no plano, então, restrito à curva definida por x^{3}+y^{3}=16, a função toma o mesmo valor e^{57} em todos os pontos dessa curva.
  • Portanto não existe distinção entre máximo e mínimo: o valor máximo e o valor mínimo de f no conjunto definido pela restrição coincidem e são iguais a e^{57}.
  • Para ficar concreto: um ponto que satisfaz a restrição é, por exemplo, (x,y)=(2,2) porque 2^{3}+2^{3}=8+8=16. Avaliando f ali obtém-se f(2,2)=e^{57}. Mas qualquer outro ponto que satisfaça x^{3}+y^{3}=16 dará o mesmo f.

Passo 6

Conclusão organizada (motivação final curta e incentivo).
  • Resultado simples e até “bonitinho”: quando a função a otimizar é constante, todo ponto admissível é ótimo e o valor ótimo é precisamente essa constante. Isso torna o uso de Lagrange muito direto aqui — o sistema mostra que não se obtêm pontos isolados, e a observação da constância de f resolve a questão.
  • Força aí: apesar de parecer estranho, é importante reconhecer esse tipo de situação na prova — quando a função é constante, não há trabalho árduo de cálculo, só reconhecimento do fato.

Resposta

Máximo: e^{57}, atingido para todo (x,y) tal que x^{3}+y^{3}=16.
Mínimo: e^{57}, atingido para todo (x,y) tal que x^{3}+y^{3}=16.

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