Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da funçāo sujeita à(s) restriçāo(ōes) dada(s).
Passo 1
O enunciado dá explicitamente a função e a restrição e pede os extremos sob essa restrição. Em forma clara:
- Função a otimizar:
. - Restrição (igualdade):
.
O que é pedido:
- Determinar os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição . - (Se for pertinente) indicar onde esses extremos ocorrem.
Passo 2
Breve aula sobre o método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática, sem jargões inúteis).
- Quando queremos otimizar uma função
sujeita a uma restrição , a ideia é que, em pontos de extremo interior do conjunto restrito, o gradiente de fica paralelo ao gradiente de . Isso leva ao sistema
junto com a própria restrição
. Aqui:
-
é o vetor gradiente de ; -
é o vetor gradiente de ; -
é o multiplicador de Lagrange (uma constante que ajusta a proporcionalidade). - Resumindo: resolvemos o sistema formado pelas duas equações do gradiente (duas componentes) e pela restrição, obtendo candidatos a extremos. Depois verificamos qual deles realmente dá máximo ou mínimo (aqui ferramentas adicionais podem ser usadas, mas em muitos casos a própria observação do valor de
já resolve).
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema dado.
- Definimos
(assim a restrição é ). - Calculamos os gradientes:
- Como
é uma constante (não depende de nem de ), suas derivadas parciais são zero. Logo
- Para
temos
portanto
Passo 4
Escrevendo o sistema de Lagrange e resolvendo-o.
- A condição
dá o sistema
Isto é, as duas equações escalares são
- Essas equações implicam que, para cada componente, ou
ou a componente (ou ) é zero. Mas note o seguinte importante: como é o vetor nulo, a condição é satisfeita para qualquer sempre que seja o vetor nulo também, e se não for nulo a igualdade só pode ocorrer com . Em resumo, não existe uma restrição isolante sobre vinda dessas equações além da própria restrição . - Conclusão do passo algébrico: o sistema de Lagrange não impõe pontos isolados adicionais — todos os pontos que satisfazem a restrição
são candidatos, porque torna a igualdade trivialmente satisfeita (com ou diversos outros casos). - Observação prática: como
é constante, não faz sentido procurar um ponto onde seja “maior” ou “menor” localmente — todos os pontos viáveis dão exatamente o mesmo valor de .
Passo 5
Interpretação e verificação final — por que isso resolve o problema.
- Como
é a mesma quantidade para qualquer no plano, então, restrito à curva definida por , a função toma o mesmo valor em todos os pontos dessa curva. - Portanto não existe distinção entre máximo e mínimo: o valor máximo e o valor mínimo de
no conjunto definido pela restrição coincidem e são iguais a . - Para ficar concreto: um ponto que satisfaz a restrição é, por exemplo,
porque . Avaliando ali obtém-se . Mas qualquer outro ponto que satisfaça dará o mesmo .
Passo 6
Conclusão organizada (motivação final curta e incentivo).
- Resultado simples e até “bonitinho”: quando a função a otimizar é constante, todo ponto admissível é ótimo e o valor ótimo é precisamente essa constante. Isso torna o uso de Lagrange muito direto aqui — o sistema mostra que não se obtêm pontos isolados, e a observação da constância de
resolve a questão. - Força aí: apesar de parecer estranho, é importante reconhecer esse tipo de situação na prova — quando a função é constante, não há trabalho árduo de cálculo, só reconhecimento do fato.
Resposta
Máximo:
, atingido para todo
tal que
.
Mínimo: , atingido para todo
tal que
.
Mínimo: