Encontre a derivada da função:
y=\ln \left|x^{3}-x^{2}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y=\ln\left|x^{3}-x^{2}\right|.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é a função logaritmo natural do valor absoluto de x^{3}-x^{2}.
  • Devemos obter y', a derivada de y em termos de x.
  • Importante: onde x^{3}-x^{2}=0 a função original não está definida, então esses pontos merecem atenção ao simplificar a derivada.

Passo 2

Lembrando uma regra fundamental que vamos usar: para uma função u(x) diferenciável e u(x)\neq0,
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação didática e curta do porquê disso (casos):
  • Se u(x)>0 num intervalo, então \ln|u|=\ln(u) e \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u} pela regra da cadeia.
  • Se u(x)<0 num intervalo, então \ln|u|=\ln(-u). Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln(-u)=\dfrac{1}{-u}\cdot(-u')=\dfrac{u'}{u}.
    Assim, em qualquer caso válido obtemos \dfrac{u'}{u}. Um exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0.

Passo 3

Identifiquemos u(x)=x^{3}-x^{2}. Vamos calcular u'(x):
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}-2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula do passo 2 ( \dfrac{d}{dx}\ln|u|=u'/u) à nossa função:
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{2}-2x}{x^{3}-x^{2}}.
Aqui é importante notar que isso só vale onde x^{3}-x^{2}\neq0.

Passo 5

Vamos simplificar a fração factorizando numerador e denominador:
3x^{2}-2x = x(3x-2), \qquad x^{3}-x^{2}=x^{2}(x-1).
Substituindo:
y'=\frac{x(3x-2)}{x^{2}(x-1)}.
Como a função original não está definida em x=0, a simplificação cancelando um fator x é válida (pois trabalhamos para x\neq0). Cancelando um x obtém-se
y'=\frac{3x-2}{x(x-1)}\qquad\text{para }x\neq0,1.

Passo 6

Resumo final e observação sobre domínio: a derivada simplificada é \dfrac{3x-2}{x(x-1)} e só faz sentido para x\neq0 e x\neq1, que são os pontos onde a expressão dentro do logaritmo se anula.

Resposta

y'=\frac{3x-2}{x(x-1)},\quad x\neq0,1

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