Encontre a derivada da função: y=\ln \left|x^{3}-x^{2}\right|.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
y=\ln\left|x^{3}-x^{2}\right|.
Informações dadas que vamos usar:
A função é a função logaritmo natural do valor absoluto de x^{3}-x^{2}.
Devemos obter y', a derivada de y em termos de x.
Importante: onde x^{3}-x^{2}=0 a função original não está definida, então esses pontos merecem atenção ao simplificar a derivada.
Passo 2
Lembrando uma regra fundamental que vamos usar: para uma função u(x) diferenciável e u(x)\neq0,
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicação didática e curta do porquê disso (casos):
Se u(x)>0 num intervalo, então \ln|u|=\ln(u) e \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u} pela regra da cadeia.
Se u(x)<0 num intervalo, então \ln|u|=\ln(-u). Aplicando a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\ln(-u)=\dfrac{1}{-u}\cdot(-u')=\dfrac{u'}{u}.
Assim, em qualquer caso válido obtemos \dfrac{u'}{u}. Um exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0.
Como a função original não está definida em x=0, a simplificação cancelando um fator x é válida (pois trabalhamos para x\neq0). Cancelando um x obtém-se
y'=\frac{3x-2}{x(x-1)}\qquad\text{para }x\neq0,1.
Passo 6
Resumo final e observação sobre domínio: a derivada simplificada é \dfrac{3x-2}{x(x-1)} e só faz sentido para x\neq0 e x\neq1, que são os pontos onde a expressão dentro do logaritmo se anula.