Diferencie a função:
y=e^{x} \sin x.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado pede e os dados que temos. O enunciado dá a função y=e^{x}\sin x e pede para diferenciá‑la, ou seja, encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}. Informação importante que já vem da própria função:
  • A função é produto de duas funções de x: u(x)=e^{x} e v(x)=\sin x.
  • O objetivo é calcular a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembre as regras que vamos usar — aqui a parte teórica curtinha e prática:
  • Regra do produto: se y=u(x)\,v(x), então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Expliquei: isso significa que a derivada do produto é “derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo”.
  • Derivadas básicas que precisamos:
    • A derivada de e^{x} é
    \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.Isso quer dizer que e^{x} é sua própria derivada — maravilhoso e conveniente.
    • A derivada de \sin x é
    \frac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto à nossa função. Identificamos u(x)=e^{x} e v(x)=\sin x. Usando a fórmula da regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=e^{x}, v(x)=\sin x, u(x)=e^{x} e v'(x)=\cos x, obtemos
y' = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x.

Passo 4

Podemos deixar a resposta mais enxuta fatorando e^{x} em evidência (uma simplificação algébrica útil e comum em provas):
y' = e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr).
Isso é exatamente a mesma expressão do passo anterior, só escrita de forma compacta.

Passo 5

Resumo prático para a prova: ao ver e^{x}\sin x lembre-se imediatamente da regra do produto e das derivadas (e^{x})' = e^{x} e (\sin x)'=\cos x. Faça o produto conforme a regra e, se quiser, fatorize e^{x} no final para ficar bonitinho e fácil de memorizar.

Resposta

y' = e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr)

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