Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=4 x^{2}+2 y^{2}+5 ; x^{2}+y^{2}-2 y=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se determinar os valores máximo e mínimo de \,f(x,y)=4x^{2}+2y^{2}+5\, sujeitos à restrição \,x^{2}+y^{2}-2y=0.
  • Informação da função: \,f(x,y)=4x^{2}+2y^{2}+5.
  • Informação da restrição: \,x^{2}+y^{2}-2y=0.
  • Objetivo final: encontrar os pontos (x,y) sobre a curva dada pela restrição onde f assume valor mínimo e onde assume valor máximo, e os respectivos valores de f.

Passo 2

Entender a forma da restrição (uma ajudinha geométrica que facilita os cálculos).
  • Começo reescrevendo a restrição completando quadrado em y:
x^{2}+y^{2}-2y = x^{2}+(y^{2}-2y) = x^{2}+\bigl((y-1)^{2}-1\bigr).
  • Logo a restrição \,x^{2}+y^{2}-2y=0\, é equivalente a
x^{2}+(y-1)^{2}=1.
  • Isto descreve um círculo de centro (0,1) e raio 1. É útil visualizar: os pontos viáveis estão ao longo desse círculo.

Passo 3

Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática).
  • Quando queremos otimizar f(x,y) com a condição g(x,y)=0 (aqui g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2y), nos interessa os pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Intuição: ao caminhar sobre a curva g=0, no ponto extremo a direção de maior variação de f é perpendicular à curva, e o gradiente aponta nessa direção; como o gradiente de g é normal à curva, eles ficam paralelos.
  • Formalmente, existe \,\lambda\in\mathbb{R}\, tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\nabla g(x,y).
  • Aqui vamos aplicar isso: defina g(x,y)=x^{2}+y^{2}-2y. Vou calcular as derivadas parciais (os componentes dos gradientes).

Passo 4

Calcular os gradientes e montar o sistema de Lagrange.
  • Gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=8x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4y,
portanto \nabla f=(8x,\,4y).
  • Gradiente de g:
\frac{\partial g}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y-2,
portanto \nabla g=(2x,\,2y-2).
  • Condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g gera o sistema
8x=\lambda\cdot 2x,\qquad 4y=\lambda\cdot(2y-2),
juntamente com a restrição
x^{2}+y^{2}-2y=0.
  • Simplificando as duas primeiras equações:
(8-2\lambda)x=0,
4y=2\lambda(y-1)\quad\text{ou}\quad 2y=\lambda(y-1).

Passo 5

Resolver o sistema: analisar os casos (porque o primeiro fator pode ser zero).
Caso A: x=0.
  • Se x=0, coloque na restrição:
0 + y^{2}-2y=0 \quad\Rightarrow\quad y(y-2)=0.
  • Assim y=0 ou y=2. Obtém-se dois pontos candidatos:
(0,0)\quad\text{e}\quad(0,2).
  • Avaliar f nesses pontos:
f(0,0)=4\cdot 0^{2}+2\cdot 0^{2}+5=5,
f(0,2)=4\cdot 0^{2}+2\cdot 2^{2}+5=2\cdot 4+5=8+5=13.

Passo 6

Caso B: x\neq 0. Então da equação (8-2\lambda)x=0 segue 8-2\lambda=0, ou seja \lambda=4.
  • Com \lambda=4, a segunda equação 2y=\lambda(y-1) fica
2y=4(y-1).
  • Resolver:
2y=4y-4 \quad\Rightarrow\quad -2y=-4 \quad\Rightarrow\quad y=2.
  • Substituindo y=2 na restrição:
x^{2}+2^{2}-2\cdot 2= x^{2}+4-4 = x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Mas isso contradiz a hipótese x\neq 0. Portanto não há soluções adicionais neste caso (a única solução produzida tem x=0, já encontrada no Caso A).

Passo 7

Conclusão sobre os candidatos e classificação de mínimo/máximo.
  • Os únicos pontos na restrição onde a condição de Lagrange é satisfeita são (0,0) e (0,2).
  • Os valores de f nesses pontos foram calculados:
f(0,0)=5,\qquad f(0,2)=13.
  • Comparando: 5<13. Assim f atinge o valor mínimo 5 em (0,0) e o valor máximo 13 em (0,2) (sobre a curva dada pela restrição).

Resposta

Mínimo: \,f_{\min}=5\, em (0,0)
Máximo: \,f_{\max}=13\, em (0,2)

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