Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede-se determinar os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição . - Informação da função:
. - Informação da restrição:
. - Objetivo final: encontrar os pontos
sobre a curva dada pela restrição onde assume valor mínimo e onde assume valor máximo, e os respectivos valores de .
Passo 2
Entender a forma da restrição (uma ajudinha geométrica que facilita os cálculos).
- Começo reescrevendo a restrição completando quadrado em
:
- Logo a restrição
é equivalente a
- Isto descreve um círculo de centro
e raio . É útil visualizar: os pontos viáveis estão ao longo desse círculo.
Passo 3
Ideia do método dos multiplicadores de Lagrange (explicação didática).
- Quando queremos otimizar
com a condição (aqui ), nos interessa os pontos onde o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Intuição: ao caminhar sobre a curva , no ponto extremo a direção de maior variação de é perpendicular à curva, e o gradiente aponta nessa direção; como o gradiente de é normal à curva, eles ficam paralelos. - Formalmente, existe
tal que
- Aqui vamos aplicar isso: defina
. Vou calcular as derivadas parciais (os componentes dos gradientes).
Passo 4
Calcular os gradientes e montar o sistema de Lagrange.
- Gradiente de
:
portanto
.
- Gradiente de
:
portanto
.
- Condição de Lagrange
gera o sistema
juntamente com a restrição
- Simplificando as duas primeiras equações:
Passo 5
Resolver o sistema: analisar os casos (porque o primeiro fator pode ser zero).
Caso A:
.
- Se
, coloque na restrição:
- Assim
ou . Obtém-se dois pontos candidatos:
- Avaliar
nesses pontos:
Passo 6
Caso B:
. Então da equação
segue
, ou seja
.
- Com
, a segunda equação fica
- Resolver:
- Substituindo
na restrição:
- Mas isso contradiz a hipótese
. Portanto não há soluções adicionais neste caso (a única solução produzida tem , já encontrada no Caso A).
Passo 7
Conclusão sobre os candidatos e classificação de mínimo/máximo.
- Os únicos pontos na restrição onde a condição de Lagrange é satisfeita são
e . - Os valores de
nesses pontos foram calculados:
- Comparando:
. Assim atinge o valor mínimo em e o valor máximo em (sobre a curva dada pela restrição).
Resposta
Mínimo:
em
Máximo: em
Máximo: