Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função objetivo a ser otimizada:
. - A restrição:
.
O que é pedido:
- Determinar o valor máximo e o valor mínimo de
sujeitos à restrição dada (isto é, sobre a esfera de raio centrada na origem).
Passo 2
Ideia chave (explicação didática dos multiplicadores de Lagrange):
- Quando se busca extremos de uma função
sujeita a uma restrição , os pontos de extremo (interiores à superfície da restrição) ocorrem quando o gradiente de é paralelo ao gradiente de . - “Gradiente” significa o vetor das derivadas parciais:
. Esse vetor aponta na direção de maior aumento de . - A condição de paralelismo se expressa dizendo que existe um escalar
(o multiplicador de Lagrange) tal que
- Para usar isso, define-se a função lagrangiana
. As equações necessárias são as derivadas parciais de iguais a zero (as equações de estacionariedade):
- Aqui:
e . O papel de é ajustar a direção do gradiente de para igualar a direção do gradiente de .
Passo 3
Escrevendo a lagrangiana e calculando as derivadas parciais:
Derivando em relação a
:
Cada equação foi obtida aplicando a regra de derivação para funções simples: por exemplo,
e
.
Passo 4
Resolver o sistema formado pelas quatro equações:
Das três primeiras igualdades temos
Das três primeiras igualdades temos
Isto implica
Portanto
Logo
. Denotando
, substituímos a condição da restrição (a quarta equação):
Assim
Portanto os pontos candidatos são
Passo 5
Calcular o valor de
nesses pontos:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Decidir qual é máximo e qual é mínimo:
- A restrição
define uma esfera compacta (fechada e limitada), logo atinge máximos e mínimos globais sobre ela. - Comparando os dois valores calculados,
é maior que . Assim: -
em . -
em .
-
(Comentário geométrico rápido, só para intuição:
é o produto interno do vetor
com
. Sobre a esfera fixa, esse produto é máximo quando
é paralelo a
e mínimo quando é antiparalelo — o cálculo acima encontrou exatamente esses pontos.)
Resposta
Máximo:
em
\n
Mínimo: em
Mínimo: