Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y, z)=x+y+z ; x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função objetivo a ser otimizada: f(x,y,z)=x+y+z.
  • A restrição: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
O que é pedido:
  • Determinar o valor máximo e o valor mínimo de f sujeitos à restrição dada (isto é, sobre a esfera de raio 3 centrada na origem).

Passo 2

Ideia chave (explicação didática dos multiplicadores de Lagrange):
  • Quando se busca extremos de uma função f sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, os pontos de extremo (interiores à superfície da restrição) ocorrem quando o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g.
  • “Gradiente” significa o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z). Esse vetor aponta na direção de maior aumento de f.
  • A condição de paralelismo se expressa dizendo que existe um escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange) tal que
\nabla f = \lambda \nabla g.
  • Para usar isso, define-se a função lagrangiana \mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\,g(x,y,z). As equações necessárias são as derivadas parciais de \mathcal{L} iguais a zero (as equações de estacionariedade):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
  • Aqui: f(x,y,z)=x+y+z e g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-9. O papel de \lambda é ajustar a direção do gradiente de g para igualar a direção do gradiente de f.

Passo 3

Escrevendo a lagrangiana e calculando as derivadas parciais:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x+y+z-\lambda\,(x^{2}+y^{2}+z^{2}-9).
Derivando em relação a x,y,z,\lambda:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=1-2\lambda x=0, \qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=1-2\lambda y=0, \qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=1-2\lambda z=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}+z^{2}-9)=0.
Cada equação foi obtida aplicando a regra de derivação para funções simples: por exemplo, \partial(x+y+z)/\partial x=1 e \partial(\lambda x^{2})/\partial x=2\lambda x.

Passo 4

Resolver o sistema formado pelas quatro equações:
Das três primeiras igualdades temos
1-2\lambda x=0,\quad 1-2\lambda y=0,\quad 1-2\lambda z=0.
Isto implica
2\lambda x=1,\quad 2\lambda y=1,\quad 2\lambda z=1.
Portanto
x=\frac{1}{2\lambda},\qquad y=\frac{1}{2\lambda},\qquad z=\frac{1}{2\lambda}.
Logo x=y=z. Denotando x=y=z=a, substituímos a condição da restrição (a quarta equação):
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3a^{2}=9.
Assim
a^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{3}\\ \text{ou}\\ a=-\sqrt{3}.
Portanto os pontos candidatos são
(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})\quad\text{e}\quad(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}).

Passo 5

Calcular o valor de f nesses pontos:
  • Para (\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}):
f(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
  • Para (-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}):
f(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})=-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-3\sqrt{3}.

Passo 6

Decidir qual é máximo e qual é mínimo:
  • A restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 define uma esfera compacta (fechada e limitada), logo f atinge máximos e mínimos globais sobre ela.
  • Comparando os dois valores calculados, 3\sqrt{3} é maior que -3\sqrt{3}. Assim:
    • f_{\max}=3\sqrt{3} em (\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}).
    • f_{\min}=-3\sqrt{3} em (-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}).
(Comentário geométrico rápido, só para intuição: f(x,y,z)=x+y+z é o produto interno do vetor (x,y,z) com (1,1,1). Sobre a esfera fixa, esse produto é máximo quando (x,y,z) é paralelo a (1,1,1) e mínimo quando é antiparalelo — o cálculo acima encontrou exatamente esses pontos.)

Resposta

Máximo: f_{\max}=3\sqrt{3} em \bigl(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}\bigr)\n
Mínimo: f_{\min}=-3\sqrt{3} em \bigl(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}\bigr)

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