Um fabricante produz dois tipos de lâmpadas. De sua experiência, o fabricante constatou que se x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100-2 x) e (126-3 y), respectivamente. O custo de fabricação de x lâmpadas do 1^{\circ} tipo e y lâmpadas do 2^{\underline{\circ}} tipo é de (12 x+11 y+4 x y). Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que o fabricante obtenha lucro máximo, e qual é o lucro máximo?
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Variáveis: x = número de lâmpadas do 1.º tipo produzidas; y = número de lâmpadas do 2.º tipo produzidas.
Preço de venda por unidade do 1.º tipo: 100-2x.
Preço de venda por unidade do 2.º tipo: 126-3y.
Custo total de fabricação: 12x+11y+4xy.
O enunciado pede:
Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para maximizar o lucro?
Qual é o lucro máximo?
Passo 2
Definir as funções importantes (isso é básico em problemas de otimização):
Receita total R(x,y) é preço por unidade vezes quantidade, somando os dois tipos:
R(x,y)=x(100-2x)+y(126-3y).
Expliquei: multiplicou-se a quantidade de cada tipo pelo preço correspondente.
Custo total C(x,y) já dado:
C(x,y)=12x+11y+4xy.
Lucro P(x,y) é receita menos custo:
P(x,y)=R(x,y)-C(x,y).
Explicando: lucro é o que sobra depois de pagar todos os custos.
Passo 3
Montar explicitamente P(x,y) juntando termos e simplificando passo a passo.
Agora distribuo o sinal e agrupo termos semelhantes:
P(x,y)=100x-2x^{2}+126y-3y^{2}-12x-11y-4xy.
Juntando os termos lineares:
100x-12x=88x,\qquad 126y-11y=115y.
Portanto a forma final do polinômio de lucro é
P(x,y)=-2x^{2}-4xy-3y^{2}+88x+115y.
Comentário didático: isto é um polinômio quadrático em x e y; como os coeficientes das partes quadráticas são negativos, a superfície é “côncava para baixo” e esperamos um máximo interno único.
Passo 4
Método para encontrar máximo: como P é diferenciável, procuramos pontos críticos onde as derivadas parciais valem zero. Explico o conceito rápido: derivada parcial em relação a x é a taxa de variação do lucro quando só x varia, mantendo y fixo.
Explicação do teste: para uma matriz Hessiana simétrica 2×2, se a primeira derivada segunda principal (a 1\times1 no canto superior esquerdo) for negativa e o determinante de H for positivo, então H é negativa definida e o ponto crítico é um máximo local. Para uma quadrática côncava (como aqui), esse máximo é global.
Calculo dos testes:
\frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}}=-4<0,
\det H = (-4)(-6)-(-4)^{2}=24-16=8>0.
Portanto H é negativa definida e o ponto encontrado é um máximo (único) global do lucro.
Passo 7
Calcular o lucro máximo substituindo x=8{,}5 e y=13{,}5 em P(x,y). Vou fazer passo a passo e com contas explícitas.
Interpretação: o lucro máximo é \,1150{,}25 (na mesma unidade monetária usada pelos preços e custos do enunciado).
Passo 8
Comentários finais e observações práticas (rápidas e motivadoras):
Obtemos um máximo interno com x e y não inteiros (8{,}5 e 13{,}5). Em problemas reais com indivisibilidade (não se pode produzir meia lâmpada) faria sentido arredondar para inteiros e checar lucro nesses pontos inteiros vizinhos; mas matematicamente, sem restrição de integridade, esse é o ótimo.
O caráter quadrático e a negatividade da parte quadrática garantiram unicidade e facilidade do teste do máximo — por isso a escolha do método por derivadas parciais foi natural.