Um fabricante produz dois tipos de lâmpadas. De sua experiência, o fabricante constatou que se x lâmpadas do primeiro tipo e y lâmpadas do segundo tipo forem feitas, cada uma delas poderá ser vendida pelos valores (100-2 x) e (126-3 y), respectivamente. O custo de fabricação de x lâmpadas do 1^{\circ} tipo e y lâmpadas do 2^{\underline{\circ}} tipo é de (12 x+11 y+4 x y). Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para que o fabricante obtenha lucro máximo, e qual é o lucro máximo?

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Variáveis: x = número de lâmpadas do 1.º tipo produzidas; y = número de lâmpadas do 2.º tipo produzidas.
  • Preço de venda por unidade do 1.º tipo: 100-2x.
  • Preço de venda por unidade do 2.º tipo: 126-3y.
  • Custo total de fabricação: 12x+11y+4xy.
  • O enunciado pede:
    1. Quantas lâmpadas de cada tipo devem ser produzidas para maximizar o lucro?
    2. Qual é o lucro máximo?

Passo 2

Definir as funções importantes (isso é básico em problemas de otimização):
  • Receita total R(x,y) é preço por unidade vezes quantidade, somando os dois tipos:
R(x,y)=x(100-2x)+y(126-3y).
Expliquei: multiplicou-se a quantidade de cada tipo pelo preço correspondente.
  • Custo total C(x,y) já dado:
C(x,y)=12x+11y+4xy.
  • Lucro P(x,y) é receita menos custo:
P(x,y)=R(x,y)-C(x,y).
Explicando: lucro é o que sobra depois de pagar todos os custos.

Passo 3

Montar explicitamente P(x,y) juntando termos e simplificando passo a passo.
Primeiro escrevo R(x,y):
R(x,y)=100x-2x^{2}+126y-3y^{2}.
Então
P(x,y)=\bigl(100x-2x^{2}+126y-3y^{2}\bigr)-(12x+11y+4xy).
Agora distribuo o sinal e agrupo termos semelhantes:
P(x,y)=100x-2x^{2}+126y-3y^{2}-12x-11y-4xy.
Juntando os termos lineares:
100x-12x=88x,\qquad 126y-11y=115y.
Portanto a forma final do polinômio de lucro é
P(x,y)=-2x^{2}-4xy-3y^{2}+88x+115y.
Comentário didático: isto é um polinômio quadrático em x e y; como os coeficientes das partes quadráticas são negativos, a superfície é “côncava para baixo” e esperamos um máximo interno único.

Passo 4

Método para encontrar máximo: como P é diferenciável, procuramos pontos críticos onde as derivadas parciais valem zero. Explico o conceito rápido: derivada parcial em relação a x é a taxa de variação do lucro quando só x varia, mantendo y fixo.
Calculo as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial P}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^{2}-4xy-3y^{2}+88x+115y\bigr).
Termo a termo:
\frac{\partial P}{\partial x}=-4x-4y+88.
(Expliquei: \frac{d}{dx}(-2x^2)=-4x, \frac{d}{dx}(-4xy)=-4y pois y é tratado como constante, \frac{d}{dx}(88x)=88.)
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^{2}-4xy-3y^{2}+88x+115y\bigr)=-4x-6y+115.
(Expliquei: \frac{d}{dy}(-3y^2)=-6y, \frac{d}{dy}(-4xy)=-4x, \frac{d}{dy}(115y)=115.)
Para pontos críticos:
\frac{\partial P}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=0.

Passo 5

Resolver o sistema linear dado pelas equações das derivadas parciais:
As equações são
-4x-4y+88=0
-4x-6y+115=0.
Primeira equação simplificada:
-4x-4y+88=0\quad\Longrightarrow\quad x+y=22.
(Expliquei: dividi por -4.)
Uso x=22-y e substituo na segunda equação:
-4(22-y)-6y+115=0.
Desenvolvendo:
-88+4y-6y+115=0.
Agrupando y:
-2y+27=0.
Logo
y=\frac{27}{2}=13{,}5.
Então
x=22-y=22-13{,}5=8{,}5.
Interpretação: o ponto crítico é \bigl( x,y\bigr)=\bigl(8{,}5,\;13{,}5\bigr).

Passo 6

Verificar que o ponto crítico é realmente um máximo (teste da segunda derivada para funções de duas variáveis).
Formo a matriz Hessiana H cujos elementos são as derivadas segundas:
H=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}P}{\partial x\partial y} \\\ \frac{\partial^{2}P}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}P}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\\\ -4 & -6 \end{pmatrix}.
Explicação do teste: para uma matriz Hessiana simétrica 2×2, se a primeira derivada segunda principal (a 1\times1 no canto superior esquerdo) for negativa e o determinante de H for positivo, então H é negativa definida e o ponto crítico é um máximo local. Para uma quadrática côncava (como aqui), esse máximo é global.
Calculo dos testes:
\frac{\partial^{2}P}{\partial x^{2}}=-4<0,
\det H = (-4)(-6)-(-4)^{2}=24-16=8>0.
Portanto H é negativa definida e o ponto encontrado é um máximo (único) global do lucro.

Passo 7

Calcular o lucro máximo substituindo x=8{,}5 e y=13{,}5 em P(x,y). Vou fazer passo a passo e com contas explícitas.
Recordando a expressão:
P(x,y)=-2x^{2}-4xy-3y^{2}+88x+115y.
Calculo cada termo:
  • x^{2}=(8{,}5)^{2}=72{,}25, então
-2x^{2}=-2\cdot72{,}25=-144{,}5.
  • y^{2}=(13{,}5)^{2}=182{,}25, então
-3y^{2}=-3\cdot182{,}25=-546{,}75.
  • Produto xy=8{,}5\cdot13{,}5=114{,}75, então
-4xy=-4\cdot114{,}75=-459.
  • Termos lineares:
88x=88\cdot8{,}5=748,
115y=115\cdot13{,}5=1552{,}5.
Agora somo tudo:
P(8{,}5,13{,}5)=(-144{,}5)+(-546{,}75)+(-459)+748+1552{,}5.
Agrupando os negativos:
-144{,}5-546{,}75-459=-1150{,}25.
Agrupando os positivos:
748+1552{,}5=2300{,}5.
Logo
P(8{,}5,13{,}5)=2300{,}5-1150{,}25=1150{,}25.
Interpretação: o lucro máximo é \,1150{,}25 (na mesma unidade monetária usada pelos preços e custos do enunciado).

Passo 8

Comentários finais e observações práticas (rápidas e motivadoras):
  • Obtemos um máximo interno com x e y não inteiros ( 8{,}5 e 13{,}5). Em problemas reais com indivisibilidade (não se pode produzir meia lâmpada) faria sentido arredondar para inteiros e checar lucro nesses pontos inteiros vizinhos; mas matematicamente, sem restrição de integridade, esse é o ótimo.
  • O caráter quadrático e a negatividade da parte quadrática garantiram unicidade e facilidade do teste do máximo — por isso a escolha do método por derivadas parciais foi natural.

Resposta

x=8{,}5,\\ y=13{,}5
Lucro\\ máximo = 1150{,}25á

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