Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Faixa cilíndrica circular A porção do cilindro x^{2}+z^{2}=10 entre os planos y=-1 e y=1.

Passo 1

Estamos querendo a área da porção do cilindro x^{2}+z^{2}=10 para -1\le y\le1. O conteúdo é cálculo de área de superfície via parametrização. Vamos parametrizar essa faixa cilíndrica e depois montar uma integral dupla para calcular a área.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros \theta e y, com \theta\in[0,2\pi] e y\in[-1,1]. Uma parametrização natural é
\mathbf r(\theta,y)=\bigl(\sqrt{10}\cos\theta,\;y,\;\sqrt{10}\sin\theta\bigr).
Então
\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta} =\bigl(-\sqrt{10}\,\sin\theta,\;0,\;\sqrt{10}\,\cos\theta\bigr), \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial y} =(0,1,0).
Como esses vetores são ortogonais, o módulo do produto vetorial é
\Bigl\lvert\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta}\times\frac{\partial\mathbf r}{\partial y}\Bigr\rvert =\Bigl\lvert\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta}\Bigr\rvert\;\Bigl\lvert\frac{\partial\mathbf r}{\partial y}\Bigr\rvert =\sqrt{10}\cdot1 =\sqrt{10}.

Passo 3

A área da superfície é
\iint_D\Bigl\lvert\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta}\times\frac{\partial\mathbf r}{\partial y}\Bigr\rvert \,d\theta\,dy =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{y=-1}^{1}\sqrt{10}\;dy\,d\theta.
Calculando,
\int_{y=-1}^{1}\sqrt{10}\,dy =\sqrt{10}\,\bigl[y\bigr]_{-1}^{1} =2\sqrt{10},
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\int_{0}^{2\pi}2\sqrt{10}\,d\theta =2\sqrt{10}\cdot2\pi =4\pi\sqrt{10}.

Resposta

A área da faixa cilíndrica é \;4\pi\sqrt{10}.

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