Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Calota parabólica A calota cortada do paraboloide z=2- x^{2}-y^{2} pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície do paraboloide
z = 2 - x^{2} - y^{2}
cortada pelo cone
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico de função z=f(x,y) usando parametrização e coordenadas polares.

Passo 2

Para achar a curva de interseção em coordenadas polares, igualamos
2 - r^{2} = r.
Isso dá
r^{2} + r - 2 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = 1\quad(\text{descartamos }r=-2).
Logo a região de projeção no plano xy é
D = \{(r,\theta)\mid 0 \le r \le 1,\;0 \le \theta \le 2\pi\}.

Passo 3

Usamos a parametrização em polares
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2 - r^{2}\bigr),
com (r,\theta)\in D.

Passo 4

Para o gráfico de z=f(x,y) sobre D, a área é
A=\iint_{D}\sqrt{1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}}\;dA.
Aqui f(x,y)=2 - x^{2}-y^{2}, então
f_{x}=-2x,\quad f_{y}=-2y \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}=\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}=\sqrt{1+4r^{2}}.
Em coordenadas polares dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Substituindo,
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}r\sqrt{1+4r^{2}}\;dr.
Fazendo u=1+4r^{2}, du=8r\,dr, quando r=0\Rightarrow u=1, r=1\Rightarrow u=5:
A =2\pi\cdot\frac{1}{8}\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du =\frac{\pi}{4}\Bigl[\frac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{1}^{5} =\frac{\pi}{6}\bigl(5^{3/2}-1\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

Exercícios relacionados