Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Faixa parabólica A porção do paraboloide
entre os planos
e
.
Faixa parabólica A porção do paraboloide
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do paraboloide
compreendida entre os planos
e
. Para isso usaremos a fórmula de área de superfície de gráfico
onde
e
é a projeção no plano
. Como a região é circular, vamos parametrizar em coordenadas polares.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
logo o integrando fica
Passo 3
Em coordenadas polares fazemos
e a condição
vira
, ou seja
. O integrando torna-se
, de modo que
Passo 4
Para avaliar a integral em
, use
, então
e
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 5
Sobram só os
de
: