Utilize uma parametrização para expressar a área da superficie como uma integral dupla. Em seguida, calcule a integral.
Faixa parabólica A porção do paraboloide z=x^{2}+y^{2} entre os planos z=1 e z=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do paraboloide z=x^{2}+y^{2} compreendida entre os planos z=1 e z=4. Para isso usaremos a fórmula de área de superfície de gráfico
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\;dA
onde f(x,y)=x^{2}+y^{2} e D é a projeção no plano xy. Como a região é circular, vamos parametrizar em coordenadas polares.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y)=2x,\quad f_{y}(x,y)=2y,
logo o integrando fica
\sqrt{1+(2x)^{2}+(2y)^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}.

Passo 3

Em coordenadas polares fazemos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
e a condição 1\le z\le4 vira 1\le r^{2}\le4, ou seja 1\le r\le2. O integrando torna-se \sqrt{1+4r^{2}}, de modo que
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para avaliar a integral em r, use u=1+4r^{2}, então du=8r\,dr e r\,dr=du/8. Quando r=1, u=5; quando r=2, u=17. Assim
\int_{1}^{2}\sqrt{1+4r^{2}}\;r\,dr =\int_{5}^{17}\sqrt{u}\,\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\,\int_{5}^{17}u^{1/2}\,du =\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{5}^{17} =\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr).

Passo 5

Sobram só os 2\pi de \theta:
A =2\pi\cdot\frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr) =\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr).

Resposta

A=\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr).

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