1. Utilize a parametrização
\mathbf{r}(x, z)=x \mathbf{i}+f(x, z) \mathbf{j}+z \mathbf{k}
e a Equação 5 para deduzir uma fórmula para d \sigma associada à forma explícita y=f(x, z).

Passo 1

O enunciado dá a superfície explícita y=f(x,z) e sugere a parametrização
\mathbf{r}(x,z)=x\,\mathbf{i}+f(x,z)\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}
e a “Equação 5” que é, em geral,
d\sigma=\bigl\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\|\,du\,dv.
Aqui u=x e v=z. Nosso objetivo é aplicar esse resultado para obter d\sigma em termos de f_x e f_z.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de \mathbf{r} em relação a x e z.
\mathbf{r}_x=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x} =\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial x}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k} =\mathbf{i}+f_x\,\mathbf{j},
\mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} =0\,\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial z}\,\mathbf{j}+\mathbf{k} =f_z\,\mathbf{j}+\mathbf{k}.

Passo 3

Determinar o produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z.
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&f_x&0\\\\ 0&f_z&1 \end{vmatrix} =\bigl(f_x\cdot1-0\cdot f_z\bigr)\mathbf{i} -\bigl(1\cdot1-0\cdot0\bigr)\mathbf{j} +\bigl(1\cdot f_z-f_x\cdot0\bigr)\mathbf{k} =f_x\,\mathbf{i}-\mathbf{j}+f_z\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calcular a norma de \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z.
\bigl\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z\bigr\| =\sqrt{(f_x)^2+(-1)^2+(f_z)^2} =\sqrt{1+f_x^2+f_z^2}.

Passo 5

Substituindo em d\sigma=\|\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z\|\,dx\,dz, obtemos
d\sigma=\sqrt{1+\bigl(f_x(x,z)\bigr)^2+\bigl(f_z(x,z)\bigr)^2}\;dx\,dz.

Resposta

d\sigma=\sqrt{1+\bigl(f_x(x,z)\bigr)^2+\bigl(f_z(x,z)\bigr)^2}\;dx\,dz.

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