Se \mathbf{F}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} é um campo vetorial diferenciável, definimos a notação \mathbf{F} \cdot \nabla para significar
M \frac{\partial}{\partial x}+N \frac{\partial}{\partial y}+P \frac{\partial}{\partial z} .
Para campos vetoriais diferenciáveis \mathbf{F}_{1} e \mathbf{F}_{2}, verifique as identidades a seguir.
\nabla \times\left(\mathbf{F}_{1} \times \mathbf{F}_{2}\right)=\left(\mathbf{F}_{2} \cdot \nabla\right) \mathbf{F}_{1}-\left(\mathbf{F}_{1} \cdot \nabla\right) \mathbf{F}_{2}+\left(\nabla \cdot \mathbf{F}_{2}\right) \mathbf{F}_{1}- \left(\nabla \cdot \mathbf{F}_{1}\right) \mathbf{F}_{2}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade de cálculo vetorial
\nabla \times\bigl(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2\bigr) =\bigl(\mathbf{F}_2\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_1 -\bigl(\mathbf{F}_1\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_2 +(\nabla\cdot\mathbf{F}_2)\,\mathbf{F}_1 -(\nabla\cdot\mathbf{F}_1)\,\mathbf{F}_2.
O conteúdo aqui é o uso da notação de índices de Einstein, do símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e da regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos em componentes: \bigl(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2\bigr)_k =\varepsilon_{k\ell m}\,F_{1\ell}\,F_{2m}
e
\bigl[\nabla\times(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2)\bigr]_i =\varepsilon_{i j k}\,\partial_j\bigl[(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2)_k\bigr] =\varepsilon_{i j k}\,\partial_j\bigl(\varepsilon_{k\ell m}\,F_{1\ell}\,F_{2m}\bigr).

Passo 3

Usamos a identidade
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{k\ell m} =\delta_{i\ell}\,\delta_{j m}-\delta_{i m}\,\delta_{j\ell}
para obter
\bigl[\nabla\times(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2)\bigr]_i =(\delta_{i\ell}\,\delta_{j m}-\delta_{i m}\,\delta_{j\ell}) \,\partial_j\bigl(F_{1\ell}\,F_{2m}\bigr).
Isto separa-se em dois termos:
\partial_j\bigl(F_{1i}\,F_{2j}\bigr) -\partial_j\bigl(F_{1j}\,F_{2i}\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto em cada termo:
\partial_j(F_{1i}F_{2j}) =F_{2j}\,\partial_j F_{1i}+F_{1i}\,\partial_j F_{2j},
\partial_j(F_{1j}F_{2i}) =F_{2i}\,\partial_j F_{1j}+F_{1j}\,\partial_j F_{2i}.
Subtraindo, fica
F_{2j}\,\partial_j F_{1i} +F_{1i}\,\partial_j F_{2j} -\bigl(F_{2i}\,\partial_j F_{1j}+F_{1j}\,\partial_j F_{2i}\bigr).
Cada parcela é justamente: \bigl(\mathbf{F}_2\cdot\nabla\bigr)F_{1i}, (\nabla\cdot\mathbf{F}_2)F_{1i}, -(\nabla\cdot\mathbf{F}_1)F_{2i} e -(\mathbf{F}_1\cdot\nabla)F_{2i}.

Resposta

\nabla \times\bigl(\mathbf{F}_1\times\mathbf{F}_2\bigr) =\bigl(\mathbf{F}_2\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_1 -\bigl(\mathbf{F}_1\cdot\nabla\bigr)\mathbf{F}_2 +(\nabla\cdot\mathbf{F}_2)\,\mathbf{F}_1 -(\nabla\cdot\mathbf{F}_1)\,\mathbf{F}_2.

Exercícios relacionados