Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
y^{\prime \prime}-2 y+y=0, com y(0)=0 e y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com valor inicial dada por
y^{\prime\prime}-2y+y=0,
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
Informações relevantes que temos: a equação diferencial (que pode ser simplificada algebraicamente), e as duas condições iniciais no instante t=0. O objetivo é encontrar y(t) que satisfaça a equação e essas condições.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação diferencial. Observe que -2y+y=-y, portanto a equação fica
y^{\prime\prime}-y=0.
Agora vamos aplicar a Transformada de Laplace. Vou te lembrar as fórmulas essenciais (isso é importante para usar direto na prova):
Definição (informal): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Propriedades que vamos usar:
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Essas fórmulas mostram como as condições iniciais aparecem quando transformamos derivadas — isso é o grande trunfo da Laplace para PVI (problemas de valor inicial).

Passo 3

Denotemos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicamos a transformada de Laplace à equação simplificada \;y^{\prime\prime}-y=0\;. Usando as fórmulas de derivadas e linearidade:
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y\}=0
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)-Y(s)=0.
Agora reunimos os termos em Y(s):
(s^{2}-1)Y(s)-s y(0)-y'(0)=0.

Passo 4

Substituímos as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 na equação do passo anterior:
(s^{2}-1)Y(s)-s\cdot 0 - 1 =0.
Portanto
(s^{2}-1)Y(s)=1
e isolando Y(s) obtemos
Y(s)=\frac{1}{s^{2}-1}.

Passo 5

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de Y(s) para facilitar a transformada inversa. Note que
\frac{1}{s^{2}-1}=\frac{1}{(s-1)(s+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(s-1)(s+1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1) vem
1 = A(s+1)+B(s-1).
Escolhendo valores de s para achar A e B: para s=1 obtemos 1=A(2) logo A=\tfrac{1}{2}. Para s=-1 obtemos 1=B(-2) logo B=-\tfrac{1}{2}. Assim
Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembra que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}.
Aplicando isso aos dois termos de Y(s) temos as transformadas inversas individuais:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}\right\}(t)=\frac{1}{2}e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1}\right\}(t)=-\frac{1}{2}e^{-t}.

Passo 7

A solução y(t) é a soma das inversas encontradas no passo anterior (por linearidade da transformada inversa). Para checar rapidamente as condições iniciais sem escrever a forma final combinada: em t=0 cada exponencial vale 1, então as contribuições somam \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0, o que confere com y(0)=0. Derivando a combinação das exponenciais e avaliando em t=0 também dá y'(0)=1, conforme pedido (essa verificação usa as propriedades básicas de exponenciais).

Resposta

y(t)=\operatorname{sinh}(t)

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