Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial.
, com
e
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial com valor inicial dada por
com condições iniciais
Informações relevantes que temos: a equação diferencial (que pode ser simplificada algebraicamente), e as duas condições iniciais no instante
. O objetivo é encontrar
que satisfaça a equação e essas condições.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação diferencial. Observe que
, portanto a equação fica
Agora vamos aplicar a Transformada de Laplace. Vou te lembrar as fórmulas essenciais (isso é importante para usar direto na prova):
Definição (informal): a transformada de Laplace de uma função
é
Propriedades que vamos usar:
onde
. Essas fórmulas mostram como as condições iniciais aparecem quando transformamos derivadas — isso é o grande trunfo da Laplace para PVI (problemas de valor inicial).
Passo 3
Denotemos
. Aplicamos a transformada de Laplace à equação simplificada
. Usando as fórmulas de derivadas e linearidade:
Agora reunimos os termos em
:
Passo 4
Substituímos as condições iniciais
e
na equação do passo anterior:
Portanto
e isolando
obtemos
Passo 5
Agora fazemos a decomposição em frações parciais de
para facilitar a transformada inversa. Note que
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
vem
Escolhendo valores de
para achar
e
: para
obtemos
logo
. Para
obtemos
logo
. Assim
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo. Lembra que
Aplicando isso aos dois termos de
temos as transformadas inversas individuais:
Passo 7
A solução
é a soma das inversas encontradas no passo anterior (por linearidade da transformada inversa). Para checar rapidamente as condições iniciais sem escrever a forma final combinada: em
cada exponencial vale
, então as contribuições somam
, o que confere com
. Derivando a combinação das exponenciais e avaliando em
também dá
, conforme pedido (essa verificação usa as propriedades básicas de exponenciais).