Utilize propriedades dos expoentes para reescrever e simplificar a expressão dada
\frac{\left(6 y^{3}\right)^{4}}{2 y^{5}}

Passo 1

O enunciado pede que se utilize propriedades dos expoentes para reescrever e simplificar a expressão dada. A expressão fornecida é:
\frac{\left(6 y^{3}\right)^{4}}{2 y^{5}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão envolve uma potência de um produto \left(6 y^{3}\right)^{4}.
  • Há divisão por 2 y^{5}.
  • Deveremos manipular potências e coeficientes numéricos usando propriedades de expoentes.
  • Observação importante: a expressão original não está definida para y=0 (porque há y^{5} no denominador), então ao aplicar as propriedades assumimos y\neq 0.

Passo 2

Vou listar as propriedades dos expoentes que vamos usar e explicar cada uma de forma simples:
  • Regra do produto dentro da potência (potência de um produto):
(a b)^{n}=a^{n} b^{n},
onde a e b são quaisquer expressões e n é um inteiro positivo. Isso significa que a potência se distribui para cada fator do produto.
  • Regra da potência de potência:
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n},
onde multiplicamos os expoentes.
  • Regra da divisão de potências com mesma base:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
desde que a\neq 0.
  • Operação com coeficientes numéricos: potências de números inteiros seguem as mesmas regras; por exemplo, 6^{4}=6\cdot6\cdot6\cdot6.

Passo 3

Aplicar a regra da potência de um produto em \left(6 y^{3}\right)^{4}. Pela propriedade (a b)^{n}=a^{n}b^{n} temos:
\left(6 y^{3}\right)^{4}=6^{4}\left(y^{3}\right)^{4}.

Passo 4

Calcular 6^{4}. Podemos fazer em dois passos: 6^{2}=36 e então 6^{4}=(6^{2})^{2}=36^{2}.
36^{2}=36\cdot36=1296,
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6^{4}=1296.

Passo 5

Aplicar a regra da potência de potência em \left(y^{3}\right)^{4}. Pela propriedade \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} obtemos:
\left(y^{3}\right)^{4}=y^{3\cdot 4}=y^{12}.

Passo 6

Substituir os resultados obtidos no numerador. Assim
\frac{\left(6 y^{3}\right)^{4}}{2 y^{5}}=\frac{1296\,y^{12}}{2\,y^{5}}.

Passo 7

Simplificar o coeficiente numérico \dfrac{1296}{2}. Como 1296 dividido por 2 é 648, obtemos
\frac{1296\,y^{12}}{2\,y^{5}}=648\cdot\frac{y^{12}}{y^{5}}.

Passo 8

Aplicar a regra da divisão de potências com mesma base em \dfrac{y^{12}}{y^{5}}. Pela propriedade \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} temos:
\frac{y^{12}}{y^{5}}=y^{12-5}=y^{7},
lembrando que isso exige y\neq 0, caso contrário o denominador original seria zero.

Passo 9

Combinar o coeficiente numérico com a potência simplificada da variável:
648\cdot y^{7}.

Resposta

648 y^{7}

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