A integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx converge (é uma p-integral com p=2>1). Pelo teste da comparação (ou comparação assintótica), como \dfrac{x+1}{x^{3}+5} tem comportamento assintótico como 1/x^{2}, a integral dada também converge. Portanto faz sentido procurar o valor.
Passo 3
Para calcular a integral vamos encontrar uma primitiva de \dfrac{x+1}{x^{3}+5}. Note que 5 é um cubo: 5=(5^{1/3})^{3}. Use a fatoração soma de cubos:
x+1 = A x^{2} - A\alpha x + A\alpha^{2} + Bx^{2} + B\alpha x + Cx + C\alpha.
Agrupando coeficientes por potências de x:
Coeficiente de x^{2}: A + B.
Coeficiente de x: -A\alpha + B\alpha + C.
Termo constante: A\alpha^{2} + C\alpha.
Comparando com o lado esquerdo (x+1, que tem coeficiente de x^{2} igual a 0, de x igual a 1 e constante 1), obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] - A\alpha + B\alpha + C = 1,\\[4pt] A\alpha^{2} + C\alpha = 1. \end{cases}
Da primeira equação B=-A\]. Substituindo nas outras duas:
\[\begin{cases} -2A\alpha + C = 1,\\[4pt] A\alpha^{2} + C\alpha = 1. \end{cases}\]
Da primeira dessas \(C = 1 + 2A\alpha. Substituindo na terceira:
Precisamos do comportamento de F(R) quando R\to\infty. Para R grande nota-se que
\ln|R+\alpha|\sim\ln R,\qquad \ln\bigl(R^{2}-\alpha R+\alpha^{2}\bigr)\sim 2\ln R.
O coeficiente total do \ln R em F(R) é
A + 2k = \frac{1-\alpha}{3\alpha^{2}} + 2\cdot\frac{\alpha-1}{6\alpha^{2}} = 0.
Logo os termos logarítmicos se cancelam assintoticamente e não produzem divergência no limite (isso era de esperar, pois a integral converge). Para a parte com arco-tangente,
Lembrando \alpha=5^{1/3}, essa expressão é o valor exato da integral. Se quiser uma aproximação numérica rápida, avaliando os termos obtém-se aproximadamente 0,8370\ldots.