Passo 1
O enunciado pede calcular a integral imprópria
Informações dadas:
- O integrando é
. - O intervalo de integração vai de
até , portanto é uma integral imprópria com limite superior infinito.
O que é pedido: encontrar o valor numérico (exato) dessa integral.
Passo 2
Primeiro passo técnico: transformar a integral imprópria em um limite de integrais próprias. Por definição,
Logo precisamos achar uma primitiva (antiderivada) de
e depois avaliar a diferença de primitiva nos extremos
e
e tomar
.
Passo 3
A função
tem uma antiderivada conhecida:
onde
. Vou mostrar por que isso é verdade com uma substituição simples. Tome
. Então
e
. Substituindo:
Assim a fórmula está derivada e é válida.
Passo 4
No nosso caso
, portanto
. A primitiva de
é
Usando a definição de integral imprópria:
Passo 5
Agora calculamos os limites. Sabe-se que
quando
. Logo
Além disso,
é um ângulo conhecido:
. Portanto
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão do Passo 4:
Opcionalmente, racionalizando o denominador obtém-se
, que é equivalente.