\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+3}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{x^{2}+3}.
  • O intervalo de integração vai de 1 até +\infty, portanto é uma integral imprópria com limite superior infinito.
    O que é pedido: encontrar o valor numérico (exato) dessa integral.

Passo 2

Primeiro passo técnico: transformar a integral imprópria em um limite de integrais próprias. Por definição,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+3}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{2}+3}\,dx.
Logo precisamos achar uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{x^{2}+3} e depois avaliar a diferença de primitiva nos extremos 1 e b e tomar b\to\infty.

Passo 3

A função \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}} tem uma antiderivada conhecida:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0. Vou mostrar por que isso é verdade com uma substituição simples. Tome u=\dfrac{x}{a}. Então x=au e dx=a\,du. Substituindo:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \int \frac{1}{a^{2}u^{2}+a^{2}}\cdot a\,du = \int \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{u^{2}+1}\,du = \frac{1}{a}\arctan(u)+C = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Assim a fórmula está derivada e é válida.

Passo 4

No nosso caso a^{2}=3, portanto a=\sqrt{3}. A primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+3} é
F(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right).
Usando a definição de integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+3}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[F(b)-F(1)\right] = \lim_{b\to\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigg(\arctan\!\left(\frac{b}{\sqrt{3}}\right)-\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\Bigg).

Passo 5

Agora calculamos os limites. Sabe-se que \arctan(t)\to \dfrac{\pi}{2} quando t\to+\infty. Logo
\lim_{b\to\infty}\arctan\!\left(\frac{b}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{2}.
Além disso, \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) é um ângulo conhecido: \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Portanto
\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão do Passo 4:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+3}\,dx = \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
Opcionalmente, racionalizando o denominador obtém-se \dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}, que é equivalente.

Resposta

\dfrac{\pi}{3\sqrt{3}}

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