Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=e^{\frac{5}{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função composta
y = e^{\frac{5}{x}}
e pede a derivada y'=\frac{dy}{dx} usando a regra da cadeia, que é o método para derivar uma função externa em relação a uma interna.

Passo 2

Identificamos a parte externa e a parte interna da composição:
a externa é
f(u) = e^{u}
e a interna é
u(x) = \tfrac{5}{x}.

Passo 3

Derivamos cada uma separadamente:
f'(u) = e^{u}
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(5x^{-1}\bigr) = -5x^{-2}

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia, que diz
y' = f'\bigl(u(x)\bigr)\;\cdot\;u'(x),
substituímos os resultados e simplificamos:
y' = e^{\frac{5}{x}}\;\cdot\;\bigl(-5x^{-2}\bigr) = -5x^{-2}e^{\frac{5}{x}} = -5\frac{e^{\frac{5}{x}}}{x^{2}}\,.

Resposta

y' = -5\frac{e^{\frac{5}{x}}}{x^{2}}

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