Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\log _{3}\left(3 x^{2}-4 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \log_{3}\bigl(3x^{2}-4x\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia e a fórmula da derivada do logaritmo numa base a, que é
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}u(x)\bigr) = \frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 3x^{2}-4x
e calculamos sua derivada usando as regras de potência e soma:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr) - \frac{d}{dx}(4x) = 6x - 4.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da derivada do logaritmo na base 3:
y' = \frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 3} = \frac{6x-4}{\bigl(3x^{2}-4x\bigr)\,\ln 3}.

Passo 4

Podemos fatorar numerador e denominador para simplificar:
6x-4 = 2(3x-2), \quad 3x^{2}-4x = x(3x-4),
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y' = \frac{2(3x-2)}{x(3x-4)\,\ln 3}.

Resposta

y' = \frac{6x-4}{(3x^{2}-4x)\,\ln 3} = \frac{2(3x-2)}{x(3x-4)\,\ln 3}.

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