Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=x^{2} 5^{3 x+4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = x^{2}\,5^{3x+4}
Usaremos a regra do produto (para dois fatores) e, em seguida, a regra da cadeia para derivar 5^{3x+4}.

Passo 2

Seja
u = x^{2},\quad v = 5^{3x+4}.
Pela regra do produto:
y' = u'\,v + u\,v'.

Passo 3

Calculamos u' e v':
Para u=x^{2}:
u' = \frac{d}{dx}x^{2} = 2x.
Para v=5^{3x+4}, aplicamos a regra da cadeia: o “exterior” é a função a^{t} com a=5 e o “interior” é t=3x+4.
v' = \frac{d}{dx}5^{3x+4} = 5^{3x+4}\,\ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(3x+4) = 5^{3x+4}\,\ln 5 \cdot 3 = 3\ln 5\;5^{3x+4}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto:
y' = (2x)\,5^{3x+4} + x^{2}\,(3\ln 5\,5^{3x+4}).
Fatorando 5^{3x+4}:
y' = 5^{3x+4}\bigl(2x +3x^{2}\ln 5\bigr).

Resposta

y' = 5^{3x+4}\bigl(2x +3x^{2}\ln 5\bigr).

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