Estratégia (sem pular passos): usar a Regra da Cadeia para funções compostas. Quando z depende de x e y, e x,y dependem de u,v,w, a Regra da Cadeia dá as fórmulas (para cada variável de interesse):
Explicando: \frac{\partial z}{\partial x} significa a derivada de z tratando y como constante; \frac{\partial x}{\partial u} é derivada de x em relação a u (tratando v,w como constantes), etc. Vamos calcular todas essas derivadas parciais elementares e depois montar as fórmulas acima e avaliar no ponto.
Passo 3
Calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} a partir de z = x^{2} + x\,y^{3}.
Para \frac{\partial z}{\partial x}: trate y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A derivada de x\,y^{3} em relação a x é y^{3} (porque y^{3} é constante multiplicativa). Logo
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{3}.
Para \frac{\partial z}{\partial y}: trate x como constante. A derivada de x^{2} em relação a y é 0. A derivada de x\,y^{3} em relação a y é x\cdot 3y^{2} (regra do poder). Logo
\frac{\partial z}{\partial y} = 3x\,y^{2}.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de x = u\,v^{2} + w^{3}.
\frac{\partial x}{\partial u}: tratando v,w constantes, a derivada de u\,v^{2} em relação a u é v^{2}. O termo w^{3} é constante em relação a u, derivada 0. Assim
\frac{\partial x}{\partial u} = v^{2}.
\frac{\partial x}{\partial v}: tratando u,w constantes, a derivada de u\,v^{2} em relação a v é u\cdot 2v = 2u v. O termo w^{3} dá 0. Assim
\frac{\partial x}{\partial v} = 2u v.
\frac{\partial x}{\partial w}: tratando u,v constantes, a derivada de w^{3} é 3w^{2}. O termo u v^{2} é constante em w. Assim
\frac{\partial x}{\partial w} = 3 w^{2}.
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de y = u + v\,e^{w}.
\frac{\partial y}{\partial u}: derivada de u é 1; v e^{w} é constante em u. Logo
\frac{\partial y}{\partial u} = 1.
\frac{\partial y}{\partial v}: tratando u,w constantes, a derivada de v e^{w} em relação a v é e^{w}. Assim
\frac{\partial y}{\partial v} = e^{w}.
\frac{\partial y}{\partial w}: tratando u,v constantes, a derivada de v e^{w} em relação a w é v e^{w}. Logo
\frac{\partial y}{\partial w} = v\,e^{w}.
Passo 6
Avaliar x e y no ponto (u,v,w)=(2,1,0) — precisamos dos valores de x e y para avaliar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
Resumo final dos cálculos e checagem rápida: as multiplicações e somas foram feitas com os valores avaliados; todos os passos são diretos aplicações da Regra da Cadeia com as derivadas parciais já computadas. Está tudo consistente.