Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(z=x^{2}+x y^{3}, x=u v{2}+w{3}, y=u+v e^{w});
[
\frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial w} quando u=2, v=1, w=0
]

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
  • Funções fornecidas:
    • z = x^{2} + x\,y^{3}.
    • x = u\,v^{2} + w^{3}.
    • y = u + v\,e^{w}.
  • Ponto onde devemos avaliar as derivadas:
    • u=2,\; v=1,\; w=0.
  • Pedido: calcular as derivadas parciais
    \frac{\partial z}{\partial u},\qquad \frac{\partial z}{\partial v},\qquad \frac{\partial z}{\partial w}
    avaliadas no ponto dado.

Passo 2

Estratégia (sem pular passos): usar a Regra da Cadeia para funções compostas. Quando z depende de x e y, e x,y dependem de u,v,w, a Regra da Cadeia dá as fórmulas (para cada variável de interesse):
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v},
\frac{\partial z}{\partial w} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial w}.
Explicando: \frac{\partial z}{\partial x} significa a derivada de z tratando y como constante; \frac{\partial x}{\partial u} é derivada de x em relação a u (tratando v,w como constantes), etc. Vamos calcular todas essas derivadas parciais elementares e depois montar as fórmulas acima e avaliar no ponto.

Passo 3

Calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} a partir de z = x^{2} + x\,y^{3}.
  • Para \frac{\partial z}{\partial x}: trate y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. A derivada de x\,y^{3} em relação a x é y^{3} (porque y^{3} é constante multiplicativa). Logo
    \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{3}.
  • Para \frac{\partial z}{\partial y}: trate x como constante. A derivada de x^{2} em relação a y é 0. A derivada de x\,y^{3} em relação a y é x\cdot 3y^{2} (regra do poder). Logo
    \frac{\partial z}{\partial y} = 3x\,y^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x = u\,v^{2} + w^{3}.
  • \frac{\partial x}{\partial u}: tratando v,w constantes, a derivada de u\,v^{2} em relação a u é v^{2}. O termo w^{3} é constante em relação a u, derivada 0. Assim
    \frac{\partial x}{\partial u} = v^{2}.
  • \frac{\partial x}{\partial v}: tratando u,w constantes, a derivada de u\,v^{2} em relação a v é u\cdot 2v = 2u v. O termo w^{3} 0. Assim
    \frac{\partial x}{\partial v} = 2u v.
  • \frac{\partial x}{\partial w}: tratando u,v constantes, a derivada de w^{3} é 3w^{2}. O termo u v^{2} é constante em w. Assim
    \frac{\partial x}{\partial w} = 3 w^{2}.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de y = u + v\,e^{w}.
  • \frac{\partial y}{\partial u}: derivada de u é 1; v e^{w} é constante em u. Logo
    \frac{\partial y}{\partial u} = 1.
  • \frac{\partial y}{\partial v}: tratando u,w constantes, a derivada de v e^{w} em relação a v é e^{w}. Assim
    \frac{\partial y}{\partial v} = e^{w}.
  • \frac{\partial y}{\partial w}: tratando u,v constantes, a derivada de v e^{w} em relação a w é v e^{w}. Logo
    \frac{\partial y}{\partial w} = v\,e^{w}.

Passo 6

Avaliar x e y no ponto (u,v,w)=(2,1,0) — precisamos dos valores de x e y para avaliar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
  • Calcular x(2,1,0):
    x = u\,v^{2} + w^{3} = 2\cdot 1^{2} + 0^{3} = 2 + 0 = 2.
  • Calcular y(2,1,0):
    y = u + v\,e^{w} = 2 + 1\cdot e^{0} = 2 + 1 = 3.
Portanto, no ponto dado x=2 e y=3.

Passo 7

Avaliar \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} nesses valores de x,y.
  • Substituindo em \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y^{3}:
    \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x=2,y=3)} = 2\cdot 2 + 3^{3} = 4 + 27 = 31.
  • Substituindo em \frac{\partial z}{\partial y} = 3x\,y^{2}:
    \frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(x=2,y=3)} = 3\cdot 2 \cdot 3^{2} = 6 \cdot 9 = 54.

Passo 8

Avaliar as derivadas parciais de x e y em (u,v,w)=(2,1,0).
  • De x-parciais:
    • \frac{\partial x}{\partial u} = v^{2} = 1^{2} = 1.
    • \frac{\partial x}{\partial v} = 2u v = 2\cdot 2\cdot 1 = 4.
    • \frac{\partial x}{\partial w} = 3 w^{2} = 3\cdot 0^{2} = 0.
  • De y-parciais:
    • \frac{\partial y}{\partial u} = 1.
    • \frac{\partial y}{\partial v} = e^{w} = e^{0} = 1.
    • \frac{\partial y}{\partial w} = v\,e^{w} = 1\cdot e^{0} = 1.

Passo 9

Agora aplicar as fórmulas da Regra da Cadeia com os números que já temos.
  • Para \frac{\partial z}{\partial u}:
    \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 31\cdot 1 + 54\cdot 1 = 31 + 54 = 85.
  • Para \frac{\partial z}{\partial v}:
    \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = 31\cdot 4 + 54\cdot 1 = 124 + 54 = 178.
  • Para \frac{\partial z}{\partial w}:
    \frac{\partial z}{\partial w} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w} = 31\cdot 0 + 54\cdot 1 = 0 + 54 = 54.

Passo 10

Resumo final dos cálculos e checagem rápida: as multiplicações e somas foram feitas com os valores avaliados; todos os passos são diretos aplicações da Regra da Cadeia com as derivadas parciais já computadas. Está tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}=85
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}=178
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial w}=54

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