O que é pedido: encontrar a função y(t) para todos t\ge0.
Informações relevantes:
A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo forçante f(t) é uma função em pedaços: constante 1 até t=3\pi e 0 depois.
Devemos usar as condições iniciais em t=0 e garantir continuidade adequada de y e y' em t=3\pi (pois não há distribuições tipo delta no lado direito).
Plano implícito (não vou resolver aqui): tratar o problema em duas regiões temporais: 0\le t<3\pi (equação não homogênea com f=1) e t\ge 3\pi (equação homogênea com f=0), obtendo as constantes por condições iniciais e depois por condições de emparelhamento em t=3\pi.]
Passo 2
Resolver para 0\le t<3\pi: equação
y''+y=1.
Explicando a técnica (aula rápida): para equações lineares com segundo membro constante, um método simples é procurar uma solução particular constante. Chama-se método dos coeficientes determinados. Se escolhermos y_p=K (constante), então y_p''=0 e a equação fica
0+K=1\quad\Rightarrow\quad K=1.
Portanto uma solução particular é y_p=1.
A solução geral nesta região é soma da solução homogênea mais a particular. A solução homogênea da equação associada y''+y=0 é
y_h(t)=A\cos t+B\sin t,
onde A,B são constantes. Assim
y(t)=A\cos t+B\sin t+1,\qquad 0\le t<3\pi.
Passo 3
Aplicar as condições iniciais em t=0 para determinar A e B.
Calcule y(0) e y'(0). Usando a solução encontrada,
y(0)=A\cos0+B\sin0+1=A+0+1=A+1.
A condição y(0)=0 dá
A+1=0\quad\Rightarrow\quad A=-1.
Agora a derivada:
y'(t)=-A\sin t+B\cos t,
logo
y'(0)=-A\sin0+B\cos0=0+B=B.
A condição y'(0)=1 dá
B=1.
Substituindo A e B,
y(t)=-\cos t+\sin t+1,\qquad 0\le t<3\pi.
Passo 4
Calcular y(3\pi^-) e y'(3\pi^-) — ou seja, os valores imediatamente antes de t=3\pi. Isso serve como condições iniciais para a segunda fase (quando f=0).
Da expressão obtida:
y(3\pi^-)= -\cos(3\pi)+\sin(3\pi)+1.
Lembrando os valores trigonométricos: \cos(3\pi)=\cos(\pi)=-1 e \sin(3\pi)=0. Logo
y(3\pi^-)= -(-1)+0+1=1+1=2.
Para a derivada, já calculamos a forma geral:
y'(t)=\sin t+\cos t.
Então
y'(3\pi^-)=\sin(3\pi)+\cos(3\pi)=0+(-1)=-1.
Observação didática curta: é permitido usar esses valores como condições iniciais para a segunda fase porque f é apenas descontínuo em valor (salta de 1 para 0), mas é finito; para equações do tipo y''+y=f(t) com f limitada, y e y' permanecem contínuas — somente y'' pode ter salto. (Isto pode ser visto integrando a equação em torno do ponto de salto; o termo y' permanece contínuo.)
Passo 5
Resolver para t\ge 3\pi: agora f(t)=0, então temos a equação homogênea
Resumo e verificação rápida (mini aula de checagem): juntando os dois trechos, obtemos uma solução contínua com derivada contínua em t=3\pi. Verificação dos valores em t=3\pi: para a expressão do segundo trecho y(3\pi)=-2\cos(3\pi)+\sin(3\pi)=-2(-1)+0=2, e y'(3\pi)=-2(-\sin(3\pi))+\cos(3\pi)=0+(-1)=-1, compatível com o emparelhamento. Tudo coerente.