Calcule a transformada de Laplace da função dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Laplace
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função contém o fator
, que é a função degrau unitário deslocada em . - O termo
sugere um deslocamento temporal: a variável aparece como . - Precisamos fornecer a transformada em função de
e indicar a região de convergência (condição em ).
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace: para uma função
de variável real
,
onde
é um número complexo e a integral converge para valores de
em uma certa região
. Aqui
é a variável da transformada e
indica a parte real de
.
Passo 3
Explicar o papel do degrau deslocado e reescrever a função para aplicar o teorema de deslocamento no tempo.
A função degrau deslocado
Portanto
. Podemos identificar
no formato padrão do teorema de deslocamento: se escrever
então aqui
com
. Ou seja,
com
.]
Passo 4
Enunciar o teorema de deslocamento no tempo (segunda propriedade de deslocamento): se
é uma função com transformada
, então para
Aqui
. No nosso caso
e
. Assim
Explicando as variáveis: na igualdade acima a transformada
é a transformada padrão da função
em variável
.
Passo 5
Calcular
. Usamos duas propriedades padrão:
-
para . - Multiplicar por
desloca : , onde .
Aplicando 1) com
obtemos
Agora aplicando 2) com
e
,
válido para
(porque o polo efetivo deslocado fica em
).
Passo 6
Combinar com o fator
do deslocamento no tempo (Passo 4). Assim
A região de convergência é
, pois a transformada de
exige
.
Passo 7
(Verificação por substituição direta da integral) Para confirmar, calcular diretamente pela definição com a substituição
:
Fazendo
(quando
temos
, quando
temos
), obtemos
A integral é a definição da transformada de
com variável
, ou seja
para
. Isso reconfirma