Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial x e partial z / partial y. (Dica: Use a fórmula de derivação implícita derivada da regra da cadeia.)
x^2+2 y^2+3 z^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $: $ x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1 $. A missão é descobrir como $ z $ muda em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, encontrar as derivadas parciais x e y . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia e a derivação implícita. Isso significa que vamos diferenciar a equação em relação a $ x $ e $ y $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação em relação a $ x $. Lembre-se que quando diferenciamos $ z $ em relação a $ x $, usamos a Regra da Cadeia porque $ z $ depende de $ x $.
Derivando cada termo:
x
z éçã
x
E a derivada de 1 em relação a $ x $ é 0. Então, colocando tudo junto:
z

Passo 3

Agora, vamos isolar partial zpartial x:
6z cdot partial zpartial x = -2x
partial zpartial x = -2x6z = -x3z

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas desta vez derivando a equação em relação a $ y $.
Derivando cada termo:
y éçã
ddy(x^2) = 0 (porque $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $)
ddy(2y^2) = 4y
E a derivada de 1 em relação a $ y $ é 0. Então, colocando tudo junto:
ddy(3z^2) = 6z cdot partial zpartial y (usando a Regra da Cadeia)

Passo 5

Agora, vamos isolar partial zpartial y:
6z cdot partial zpartial y = -4y
partial zpartial y = -4y6z = -2y3z

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -x3z
e
partial zpartial y = -2y3z

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