Utilize a Regra da Cadeia para determinar
e
. (Dica: Use a fórmula de derivação implícita derivada da regra da cadeia.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $: $ x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1 $. A missão é descobrir como $ z $ muda em relação a $ x $ e $ y $, ou seja, encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia e a derivação implícita. Isso significa que vamos diferenciar a equação em relação a $ x $ e $ y $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação em relação a $ x $. Lembre-se que quando diferenciamos $ z $ em relação a $ x $, usamos a Regra da Cadeia porque $ z $ depende de $ x $.
Derivando cada termo:
E a derivada de 1 em relação a $ x $ é 0. Então, colocando tudo junto:
Passo 3
Agora, vamos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos fazer a mesma coisa, mas desta vez derivando a equação em relação a $ y $.
Derivando cada termo:
E a derivada de 1 em relação a $ y $ é 0. Então, colocando tudo junto:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e