Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema pede para calcularmos:
Aqui, estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente observando o comportamento de uma diferença de funções quando $ x $ cresce sem limite. Vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como as funções se comportam para valores muito grandes de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender como elas se comportam quando $ x $ vai para mais infinito.
A primeira parte é $ \sqrt{x^{2} + 3x} $. Para simplificar isso, podemos fatorar $ x^{2} $ de dentro da raiz:
Agora, quando $ x $ é muito grande, $ \frac{3}{x} $ tende a zero, então podemos usar uma aproximação para a raiz quadrada de uma expressão próxima a 1:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda parte da expressão, $ \sqrt{5x} $. Sabemos que:
Aqui, $ \sqrt{x} $ cresce, mas muito mais lentamente comparado a $ x $. Isso significa que, para valores muito grandes de $ x $, $ \sqrt{x} $ será insignificante em comparação com termos que têm $ x $ ou $ x $ elevado a alguma potência maior.
Passo 4
Agora, vamos substituir as aproximações que encontramos na expressão original:
Quando $ x $ tende a mais infinito, $ x $ cresce sem limite, $ \frac{3}{2} $ é constante, e $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{x} $ também cresce, mas muito mais lentamente que $ x $. Portanto, o termo dominante aqui é $ x $, e os outros termos se tornam negligenciáveis em comparação.
Passo 5
Assim, o comportamento da expressão conforme $ x $ vai para mais infinito é principalmente governado pelo termo $ x $. Isso significa que:
Ou seja, a diferença entre $ \sqrt{x^{2}+3 x} $ e $ \sqrt{5 x} $ cresce sem limite à medida que $ x $ aumenta.