Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções:
e) f(t)=t raiz2-t^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(t)=traiz2-t^2 usando a regra da cadeia (e aqui também a regra do produto). Vamos precisar lembrar de como derivar um produto u(t)v(t) e como derivar raizu via regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto, que diz (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(t)=t e v(t)=raiz2-t^2. Assim:
f'(t)=1cdotraiz2-t^2+tcdotddtl(raiz2-t^2r)

Passo 3

Para derivar raiz2-t^2, note que podemos escrever raiz2-t^2=(2-t^2)^1/2. Com a regra da cadeia, se g(u)=u^1/2 e u(t)=2-t^2, então
g'(u)=12u^-1/2, u'(t)=-2t
Portanto:
ddtl(raiz2-t^2r)=12(2-t^2)^-1/2cdot(-2t)=-traiz2-t^2

Passo 4

Substituindo de volta em f'(t) e simplificando, temos:
f'(t)=raiz2-t^2+tl(-traiz2-t^2r)=raiz2-t^2-t^2raiz2-t^2
Para combinar em um único quociente, observe que
raiz2-t^2=2-t^2raiz2-t^2
Então:
f'(t)=(2-t^2)-t^2raiz2-t^2=2-2t^2raiz2-t^2=2(1-t^2)raiz2-t^2

Resposta

f'(t)=2(1-t^2)raiz2-t^2

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