Obtenha a derivada das seguinte funções:
e) f(omega)=omega^32(omega+c e^omega)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(\omega) = \omega^{\frac{3}{2}} \left( \omega + c e^{\omega} \right) $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções, mais especificamente usando a regra do produto porque temos o produto de duas funções: $ \omega^{\frac{3}{2}} $ e $ \omega + c e^{\omega} $. Vamos precisar lembrar como derivar potências e exponenciais, além de aplicar a regra do produto corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função:
  • $ u(\omega) = \omega^{\frac{3}{2}} $
  • $ v(\omega) = \omega + c e^{\omega} $
Isso facilita aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ u(\omega) = \omega^{\frac{3}{2}} $. Para isso, usamos a regra da potência, que diz que a derivada de $ \omega^n $ é $ n \omega^{n-1} $.
u(omega) = omega^32

Passo 4

Em seguida, vamos derivar $ v(\omega) = \omega + c e^{\omega} $. A derivada de $ \omega $ é 1, e a derivada de $ c e^{\omega} $ é $ c e^{\omega} $ (porque a derivada de $ e^{\omega} $ é $ e^{\omega} $ e $ c $ é uma constante).
v(omega) = omega + c e^omega

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto: $ f’(\omega) = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Substituindo o que encontramos:
f'(omega) = u' cdot v + u cdot v'

Passo 6

Vamos simplificar a expressão final:
f'(omega) = 32 omega^12 ( omega + c e^omega ) + omega^32 ( 1 + c e^omega )

Resposta

A derivada da função é
f'(omega) = 32 omega^12 ( omega + c e^omega ) + omega^32 ( 1 + c e^omega )

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