Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
z^{\prime}(t), se z=x^{2} y^{2}-y \operatorname{sen}(x y), x=t+1 e y=t+t^{2};

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a função
z=x^{2}y^{2}-y\sin(xy),
com x e y dependendo de t por
x=t+1,\qquad y=t+t^{2}.
  • O que se pede: calcular z'(t)=\dfrac{dz}{dt}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As expressões de x(t) e y(t) (peguei esses valores do enunciado).
  • A função z é função de duas variáveis x e y, e depois x e y são funções de t. Portanto z é uma composição z(t)=Z\bigl(x(t),y(t)\bigr).

Passo 2

Princípio que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando devagar: \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z tratando y como constante; \dfrac{\partial z}{\partial y} trata x como constante. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da respectiva variável independente x(t) ou y(t) em relação a t e somamos. Isso é a regra da cadeia multidimensional.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} passo a passo.
Começando de
z=x^{2}y^{2}-y\sin(xy).
  • Para x^{2}y^{2}, tratando y como constante, a derivada em relação a x é 2x y^{2} (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, e multiplicar pelo fator constante y^{2}).
  • Para -y\sin(xy), como y é constante nessa parcial, o fator -y sai e resta derivar \sin(xy) em relação a x. Pelo encadeamento interno, \dfrac{d}{dx}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot \dfrac{d}{dx}(xy). Como y é constante, \dfrac{d}{dx}(xy)=y. Logo a derivada é -y\cdot \cos(xy)\cdot y=-y^{2}\cos(xy).
    Somando:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x y^{2}-y^{2}\cos(xy)=y^{2}\bigl(2x-\cos(xy)\bigr).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y} passo a passo.
Partindo de z=x^{2}y^{2}-y\sin(xy):
  • Para x^{2}y^{2}, tratando x como constante, a derivada em relação a y é 2x^{2}y.
  • Para -y\sin(xy), agora y aparece duas vezes (produto): usar a regra do produto. Se u(y)=y e v(y)=\sin(xy) (com x tratado como constante), então \frac{d}{dy}\bigl(y\sin(xy)\bigr)=1\cdot\sin(xy)+y\cdot\frac{d}{dy}\sin(xy).E \dfrac{d}{dy}\sin(xy)=\cos(xy)\cdot \dfrac{d}{dy}(xy)=\cos(xy)\cdot x (pois x é constante). Assim \frac{d}{dy}\bigl(y\sin(xy)\bigr)=\sin(xy)+x y\cos(xy).Com o sinal menos, \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\sin(xy)\bigr)=-\sin(xy)-x y\cos(xy).
Somando:
\frac{\partial z}{\partial y}=2x^{2}y-\sin(xy)-x y\cos(xy).

Passo 5

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das expressões fornecidas:
x(t)=t+1\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=1.
y(t)=t+t^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=1+2t.
Explicação rápida: derivada de t é 1; derivada de t^{2} é 2t.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e derivadas:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=y^{2}\bigl(2x-\cos(xy)\bigr), \dfrac{\partial z}{\partial y}=2x^{2}y-\sin(xy)-x y\cos(xy), \dfrac{dx}{dt}=1 e \dfrac{dy}{dt}=1+2t, obtemos
\frac{dz}{dt}=y^{2}\bigl(2x-\cos(xy)\bigr)+(1+2t)\bigl(2x^{2}y-\sin(xy)-x y\cos(xy)\bigr).

Passo 7

Agora substituir x=t+1 e y=t+t^{2} (peguei esses valores do enunciado) para expressar a derivada em função de t apenas:
\frac{dz}{dt}=(t+t^{2})^{2}\Bigl(2(t+1)-\cos\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)\Bigr)
\qquad+(1+2t)\Bigl(2(t+1)^{2}(t+t^{2})-\sin\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)-(t+1)(t+t^{2})\cos\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt}=(t+t^{2})^{2}\Bigl(2(t+1)-\cos\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)\Bigr)+(1+2t)\Bigl(2(t+1)^{2}(t+t^{2})-\sin\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)-(t+1)(t+t^{2})\cos\bigl((t+1)(t+t^{2})\bigr)\Bigr).

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