Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
, se
e
;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a função
com
e
dependendo de
por
- O que se pede: calcular
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As expressões de
e (peguei esses valores do enunciado). - A função
é função de duas variáveis e , e depois e são funções de . Portanto é uma composição .
Passo 2
Princípio que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
Explicando devagar:
é a derivada parcial de
tratando
como constante;
trata
como constante. Depois multiplicamos cada parcial pela derivada da respectiva variável independente
ou
em relação a
e somamos. Isso é a regra da cadeia multidimensional.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Começando de
- Para
, tratando como constante, a derivada em relação a é (regra do poder: , e multiplicar pelo fator constante ). - Para
, como é constante nessa parcial, o fator sai e resta derivar em relação a . Pelo encadeamento interno, . Como é constante, . Logo a derivada é .
Somando:
Passo 4
Calcular
passo a passo.
Partindo de
:
- Para
, tratando como constante, a derivada em relação a é . - Para
, agora aparece duas vezes (produto): usar a regra do produto. Se e (com tratado como constante), então E (pois é constante). Assim Com o sinal menos,
Somando:
Passo 5
Calcular
e
a partir das expressões fornecidas:
Explicação rápida: derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia substituindo as parciais e derivadas:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Agora substituir
e
(peguei esses valores do enunciado) para expressar a derivada em função de
apenas: