Defina f(x, y)=\frac{x^{4} y}{x^{4}+y^{2}}, se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Calcule f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) pela definição. Para (x, y) \neq(0,0), calcule f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) usando a regra do produto. O que podemos dizer sobre a continuidade de f em ( 0,0 )?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
  • A função é dada por
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Pedidos:
    1. Calcular f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) usando a definição de derivada parcial (limite incremental).
    2. Para (x,y)\neq(0,0), calcular f_{x}(x,y) e f_{y}(x,y) usando a regra do produto (e regras auxiliares).
    3. Decidir se f é contínua em (0,0).]

Passo 2

Recordando a definição de derivada parcial em (0,0): por exemplo
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Aqui é importante avaliar f(h,0) para h\neq0. Para y=0 e x=h temos, pelo enunciado (peguei desses valores do enunciado),
f(h,0)=\frac{h^{4}\cdot 0}{h^{4}+0^{2}}=0.
Logo a expressão do quociente fica \dfrac{0}{h}=0 para h\neq0, e portanto
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}0=0.
Interpretação curta: ao deslocar em x mantendo y=0, a função permanece zero, então a variação por unidade é zero.

Passo 3

Agora f_{y}(0,0) pela definição:
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-0}{k}.
Para x=0 e y=k (com k\neq0) temos
f(0,k)=\frac{0^{4}\cdot k}{0^{4}+k^{2}}=0.
Logo o quociente é \dfrac{0}{k}=0 e
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}0=0.
Resumo: ambas as derivadas parciais em (0,0) existem e valem zero.

Passo 4

Para (x,y)\neq(0,0) é conveniente reescrever f como produto:
f(x,y)=y\cdot g(x,y),\qquad g(x,y)=\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}.
Vou usar a regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(y g)=y\,g_{x} e \dfrac{\partial}{\partial y}(y g)=g+y\,g_{y}. Então preciso calcular g_{x} e g_{y}. Para isso uso a regra do quociente: se g=\dfrac{U}{V} com U=x^{4} e V=x^{4}+y^{2}, então
g_{x}=\frac{U'_{x}V-UV'_{x}}{V^{2}},\qquad g_{y}=\frac{U'_{y}V-UV'_{y}}{V^{2}}.

Passo 5

Cálculo de g_{x}. Aqui U=x^{4} tem U'_{x}=4x^{3} e V=x^{4}+y^{2} tem V'_{x}=4x^{3}. Substituindo na fórmula do quociente:
g_{x}=\frac{4x^{3}(x^{4}+y^{2})-x^{4}\cdot 4x^{3}}{(x^{4}+y^{2})^{2}} =\frac{4x^{3}y^{2}}{(x^{4}+y^{2})^{2}}.
Agora aplico a regra do produto para obter f_{x}:
f_{x}(x,y)=y\cdot g_{x}(x,y) =\frac{4x^{3}y^{3}}{(x^{4}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 6

Cálculo de g_{y}. Aqui U'_{y}=0 (pois U=x^{4} não depende de y) e V'_{y}=2y. Logo
g_{y}=\frac{0\cdot (x^{4}+y^{2})-x^{4}\cdot 2y}{(x^{4}+y^{2})^{2}} =-\frac{2x^{4}y}{(x^{4}+y^{2})^{2}}.
Aplicando a fórmula de f_{y}=g+y\,g_{y}:
f_{y}(x,y)=\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}+y\left(-\frac{2x^{4}y}{(x^{4}+y^{2})^{2}}\right) =\frac{x^{4}}{x^{4}+y^{2}}-\frac{2x^{4}y^{2}}{(x^{4}+y^{2})^{2}}.
Colocando em denominador comum (x^{4}+y^{2})^{2} e simplificando:
f_{y}(x,y)=\frac{x^{4}(x^{4}+y^{2})-2x^{4}y^{2}}{(x^{4}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{4}(x^{4}-y^{2})}{(x^{4}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Agora a continuidade de f em (0,0). Queremos mostrar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0). Vou usar uma desigualdade útil: para quaisquer números reais a,b vale a^{2}+b^{2}\ge 2|ab| (da desigualdade quadrado da soma). Tomando a=x^{2} e b=|y| obtemos
x^{4}+y^{2}\ge 2|x^{2}y|.
Para (x,y)\neq(0,0),
|f(x,y)|=\left|\frac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}\right| \le\frac{|x|^{4}|y|}{2|x^{2}y|}=\frac{|x|^{2}}{2}.
(Aqui usei explicitamente a desigualdade anterior para estimar o denominador; se y=0 então f(x,0)=0 e a desigualdade também é válida.) Como |x|^{2}/2\to 0 quando (x,y)\to(0,0), pelo confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Portanto f é contínua em (0,0).

Resposta

f_{x}(0,0)=0
f_{y}(0,0)=0
Para (x,y)\neq(0,0): \displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{4x^{3}y^{3}}{(x^{4}+y^{2})^{2}}
Para (x,y)\neq(0,0): \displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{x^{4}(x^{4}-y^{2})}{(x^{4}+y^{2})^{2}}
A função f é contínua em (0,0).

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