Defina f(x, y)=\frac{x^{4} y}{x^{4}+y^{2}}, se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Calcule f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0) pela definição. Para (x, y) \neq(0,0), calcule f_{x}(x, y) e f_{y}(x, y) usando a regra do produto. O que podemos dizer sobre a continuidade de f em ( 0,0 )?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que é dado.
Vou usar a regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(y g)=y\,g_{x} e \dfrac{\partial}{\partial y}(y g)=g+y\,g_{y}. Então preciso calcular g_{x} e g_{y}. Para isso uso a regra do quociente: se g=\dfrac{U}{V} com U=x^{4} e V=x^{4}+y^{2}, então
Agora a continuidade de f em (0,0). Queremos mostrar \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0). Vou usar uma desigualdade útil: para quaisquer números reais a,b vale a^{2}+b^{2}\ge 2|ab| (da desigualdade quadrado da soma). Tomando a=x^{2} e b=|y| obtemos
(Aqui usei explicitamente a desigualdade anterior para estimar o denominador; se y=0 então f(x,0)=0 e a desigualdade também é válida.) Como |x|^{2}/2\to 0 quando (x,y)\to(0,0), pelo confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Portanto f é contínua em (0,0).
Resposta
f_{x}(0,0)=0 f_{y}(0,0)=0
Para (x,y)\neq(0,0): \displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{4x^{3}y^{3}}{(x^{4}+y^{2})^{2}}
Para (x,y)\neq(0,0): \displaystyle f_{y}(x,y)=\frac{x^{4}(x^{4}-y^{2})}{(x^{4}+y^{2})^{2}}
A função f é contínua em (0,0).