Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
\partial_{u} z e \partial_{v} z, se z=\ln \left(\frac{x^{2} y+1}{y^{2}+1}\right), x=2 u+v e y=3 u-2 v;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se calcular as derivadas parciais \partial_{u} z e \partial_{v} z.
  • As relações fornecidas (vou repetir exatamente o que veio no enunciado):
    • z=\ln\!\left(\dfrac{x^{2}y+1}{y^{2}+1}\right),
    • x=2u+v,
    • y=3u-2v.
Então precisamos expressar \partial_{u}z e \partial_{v}z em função de u e v, usando que z depende de x e y e estes dependem de u,v.

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
Se z=z(x,y) com x=x(u,v) e y=y(u,v), então as derivadas parciais são dadas por
\partial_{u}z = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}, \qquad \partial_{v}z = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Explicando de modo simples: para ver como z muda quando u varia mantemos v fixo; a variação de z vem da variação de x e da variação de y com u, então somamos as contribuições ponderadas por \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.
Antes de aplicar, vamos achar \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Primeiro reescrevo z de forma mais manejável usando a propriedade do logaritmo:
z=\ln\!\left(\frac{x^{2}y+1}{y^{2}+1}\right)=\ln(x^{2}y+1)-\ln(y^{2}+1).
Agora uso a regra: \dfrac{d}{dt}\ln(g(t))=\dfrac{g'(t)}{g(t)}.
  • Derivada parcial em relação a x:
    • A única parte que depende de x é \ln(x^{2}y+1).
    • Derivando x^{2}y+1 em relação a x (tratando y como constante) dá 2x y.
    • Logo
    \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x y}{x^{2}y+1}.
  • Derivada parcial em relação a y:
    • Derivando a primeira parcela \ln(x^{2}y+1) em relação a y \dfrac{x^{2}}{x^{2}y+1} (pois derivada de x^{2}y+1 em relação a y é x^{2}).
    • Derivando a segunda parcela -\ln(y^{2}+1) -\dfrac{2y}{y^{2}+1}.
    • Logo
    \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^{2}}{x^{2}y+1}-\frac{2y}{y^{2}+1}.
(Aqui, cada fração vem de aplicar a regra da cadeia ao logaritmo: numerador = derivada interna, denominador = argumento do log.)

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v (são lineares, então é direto):
\frac{\partial x}{\partial u}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=1, \qquad \frac{\partial y}{\partial u}=3,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-2.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da regra da cadeia:
  • Para \partial_{u}z:
\partial_{u}z = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} = 2\cdot\frac{\partial z}{\partial x} + 3\cdot\frac{\partial z}{\partial y}.
  • Para \partial_{v}z:
\partial_{v}z = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} = 1\cdot\frac{\partial z}{\partial x} + (-2)\cdot\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial x} - 2\cdot\frac{\partial z}{\partial y}.
Agora substituo as expressões obtidas em Passo 3.

Passo 6

Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}:
  • Primeiro obtenho uma forma com denominador comum; defino para simplificar
    A=x^{2}y+1,\qquad B=y^{2}+1.
    Então
    \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2xy}{A},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x^{2}}{A}-\frac{2y}{B}.
  • Calcule \partial_{u}z:
    \partial_{u}z = 2\cdot\frac{2xy}{A} + 3\cdot\Big(\frac{x^{2}}{A}-\frac{2y}{B}\Big) =\frac{4xy+3x^{2}}{A}-\frac{6y}{B}.
    Colocando em um único quociente com denominador AB:
    \partial_{u}z=\frac{(4xy+3x^{2})B-6yA}{AB}.
    Desenvolvendo o numerador (para ficar mais explícito):
    \partial_{u}z=\frac{4x y^{3}+4xy-3x^{2}y^{2}+3x^{2}-6y}{(x^{2}y+1)(y^{2}+1)}.
  • Calcule \partial_{v}z:
    \partial_{v}z = \frac{2xy}{A} -2\Big(\frac{x^{2}}{A}-\frac{2y}{B}\Big) =\frac{2xy-2x^{2}}{A}+\frac{4y}{B}.
    Colocando em único quociente:
    \partial_{v}z=\frac{(2xy-2x^{2})B+4yA}{AB},
    e desenvolvendo o numerador:
    \partial_{v}z=\frac{2x y^{3}+2xy+2x^{2}y^{2}-2x^{2}+4y}{(x^{2}y+1)(y^{2}+1)}.
Essas expressões estão em termos de x e y. Agora substituo x=2u+v e y=3u-2v para escrever as derivadas em função de u e v.

Passo 7

Substituindo x=2u+v e y=3u-2v nas fórmulas finais obtidas:
\partial_{u}z = \frac{4(2u+v)(3u-2v)^{3}+4(2u+v)(3u-2v)-3(2u+v)^{2}(3u-2v)^{2}+3(2u+v)^{2}-6(3u-2v)} {\big((2u+v)^{2}(3u-2v)+1\big)\big((3u-2v)^{2}+1\big)},
\partial_{v}z = \frac{2(2u+v)(3u-2v)^{3}+2(2u+v)(3u-2v)+2(2u+v)^{2}(3u-2v)^{2}-2(2u+v)^{2}+4(3u-2v)} {\big((2u+v)^{2}(3u-2v)+1\big)\big((3u-2v)^{2}+1\big)}.
Essas são as expressões finais de \partial_{u}z e \partial_{v}z em termos de u e v. Se quiser, posso expandir numeradores e denominadores termo a termo, mas normalmente essa forma com x=2u+v e y=3u-2v é a mais prática para escrever a resposta sem produzir polinômios enormes.

Resposta

\displaystyle \partial_{u}z = \frac{4(2u+v)(3u-2v)^{3}+4(2u+v)(3u-2v)-3(2u+v)^{2}(3u-2v)^{2}+3(2u+v)^{2}-6(3u-2v)} {\big((2u+v)^{2}(3u-2v)+1\big)\big((3u-2v)^{2}+1\big)}
\displaystyle \partial_{v}z = \frac{2(2u+v)(3u-2v)^{3}+2(2u+v)(3u-2v)+2(2u+v)^{2}(3u-2v)^{2}-2(2u+v)^{2}+4(3u-2v)} {\big((2u+v)^{2}(3u-2v)+1\big)\big((3u-2v)^{2}+1\big)}

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