Utilize a regra da cadeia que você aprendeu em Cálculo 2 para obter as seguintes derivadas:
e
, se
e
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se calcular as derivadas parciais
e . - As relações fornecidas (vou repetir exatamente o que veio no enunciado):
-
, -
, -
.
-
Então precisamos expressar
e
em função de
e
, usando que
depende de
e
e estes dependem de
.
Passo 2
Ideia e regra que vamos usar (regra da cadeia para funções de várias variáveis):
Se
com
e
, então as derivadas parciais são dadas por
Explicando de modo simples: para ver como
muda quando
varia mantemos
fixo; a variação de
vem da variação de
e da variação de
com
, então somamos as contribuições ponderadas por
e
.
Antes de aplicar, vamos achar
e
.
Passo 3
Calcular
e
.
Primeiro reescrevo
de forma mais manejável usando a propriedade do logaritmo:
Agora uso a regra:
.
-
Derivada parcial em relação a
: - A única parte que depende de
é . - Derivando
em relação a (tratando como constante) dá . - Logo
- A única parte que depende de
-
Derivada parcial em relação a
: - Derivando a primeira parcela
em relação a dá (pois derivada de em relação a é ). - Derivando a segunda parcela
dá . - Logo
- Derivando a primeira parcela
(Aqui, cada fração vem de aplicar a regra da cadeia ao logaritmo: numerador = derivada interna, denominador = argumento do log.)
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
(são lineares, então é direto):
Passo 5
Agora aplico a fórmula da regra da cadeia:
- Para
:
- Para
:
Agora substituo as expressões obtidas em Passo 3.
Passo 6
Substituindo
e
:
-
Primeiro obtenho uma forma com denominador comum; defino para simplificarEntão
-
Calcule
: Colocando em um único quociente com denominador: Desenvolvendo o numerador (para ficar mais explícito): -
Calcule
: Colocando em único quociente:e desenvolvendo o numerador:
Essas expressões estão em termos de
e
. Agora substituo
e
para escrever as derivadas em função de
e
.
Passo 7
Substituindo
e
nas fórmulas finais obtidas:
Essas são as expressões finais de
e
em termos de
e
. Se quiser, posso expandir numeradores e denominadores termo a termo, mas normalmente essa forma com
e
é a mais prática para escrever a resposta sem produzir polinômios enormes.