Utilize as regras de derivação anterior para calcular a derivada de:
f) f(x)=e^{\cos (x)}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^{\cos(x)}. Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois temos uma função composta: a exponencial e^{u} aplicada a u=\cos(x). Também precisamos saber que
– a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u},
– a derivada de \cos(x) em relação a x é -\sin(x).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\cos(x)
e a função externa
v(u)=e^{u}.

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).

Passo 4

Calculamos a derivada da função externa v(u) em relação a u:
v'(u)=\frac{d}{du}\bigl(e^{u}\bigr)=e^{u}.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =e^{u(x)}\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =-e^{\cos(x)}\,\sin(x).

Resposta

f'(x)=-e^{\cos(x)}\sin(x).

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