Nos exercícios a seguir, determine os vetores velocidade e aceleração da partícula cuja função posição é dada.
\vec{r}(t)=e^{t}(\cos t, \operatorname{sen} t, t)

Passo 1

O enunciado dá a função posição \displaystyle \vec r(t)=e^{t}(\cos t,\operatorname{sen} t,t)
e pede os vetores velocidade \vec v(t)=\vec r\,'(t) e aceleração \vec a(t)=\vec v\,'(t). Para isso vamos derivar componente a componente, usando a regra do produto entre e^{t} e cada função de t.

Passo 2

Derivando cada componente de \vec r(t):
- Componente x(t)=e^{t}\cos t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) =e^{t}\cos t+e^{t}(-\operatorname{sen} t) =e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t).
- Componente y(t)=e^{t}\operatorname{sen} t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\operatorname{sen} t\bigr) =e^{t}\operatorname{sen} t+e^{t}\cos t =e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t).
- Componente z(t)=e^{t}t:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}t\bigr) =e^{t}t+e^{t}\cdot1 =e^{t}(1+t).
Logo,
\vec v(t)=\vec r\,'(t) = \bigl(e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t),\;e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t),\;e^{t}(1+t)\bigr) = e^{t}\bigl(\cos t-\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t+\cos t,\;1+t\bigr).

Passo 3

Agora derivamos \vec v(t) para obter \vec a(t):
- Componente v_x(t)=e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t):
\frac{d}{dt}v_x =e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t)+e^{t}(-\operatorname{sen} t-\cos t) =e^{t}(-2\operatorname{sen} t).
- Componente v_y(t)=e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t):
\frac{d}{dt}v_y =e^{t}(\operatorname{sen} t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t) =e^{t}(2\cos t).
- Componente v_z(t)=e^{t}(1+t):
\frac{d}{dt}v_z =e^{t}(1+t)+e^{t}\cdot1 =e^{t}(2+t).
Portanto,
\vec a(t)=\vec v\,'(t) =\bigl(-2e^{t}\operatorname{sen} t,\;2e^{t}\cos t,\;e^{t}(2+t)\bigr) = e^{t}\bigl(-2\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;t+2\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec v(t)=e^{t}\bigl(\cos t-\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t+\cos t,\;1+t\bigr) \displaystyle \vec a(t)=e^{t}\bigl(-2\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;t+2\bigr)

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