Utilize as regras de derivação anterior para calcular a derivada de:
f(x)=\left(x^{3}+1\right)\left(x^{70}+2 x^{68}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{3}+1\bigr)\bigl(x^{70}+2x^{68}\bigr).
O conteúdo é regra do produto, e vamos precisar também da regra da soma e da regra de potência para derivar cada parcela.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{3}+1, \qquad v(x)=x^{70}+2x^{68}.
Pela regra da potência e da soma,
u'(x)=3x^{2}, \qquad v'(x)=70x^{69}+136x^{67}.

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =3x^{2}\bigl(x^{70}+2x^{68}\bigr) +(x^{3}+1)\bigl(70x^{69}+136x^{67}\bigr).

Passo 5

Expandindo e somando termos semelhantes:
3x^{2}\cdot x^{70}=3x^{72},\quad 3x^{2}\cdot2x^{68}=6x^{70},
(x^{3}+1)\cdot70x^{69}=70x^{72}+70x^{69},\quad (x^{3}+1)\cdot136x^{67}=136x^{70}+136x^{67}.
Logo,
f'(x)=3x^{72}+6x^{70}+70x^{72}+70x^{69}+136x^{70}+136x^{67} =73x^{72}+142x^{70}+70x^{69}+136x^{67}.
Podemos ainda colocar em forma fatorada:
f'(x)=x^{67}\bigl(73x^{5}+142x^{3}+70x^{2}+136\bigr).

Resposta

f'(x)=x^{67}\bigl(73x^{5}+142x^{3}+70x^{2}+136\bigr).

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