Utilize as regras de derivação estudadas para determinar a derivada de f, f^prime, para cada uma das seguintes funções.
f(x)=(x^3-raizx)(2 x^4+9 raiz[3]x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (x^3 – √x)(2x^4 + 9∛x). Aqui o conteúdo é derivada de produto e de potências, então vamos usar a regra do produto e a regra de potência d(x^n)/dx = n x^n-1.

Passo 2

Definimos u(x)=x^3 - x^1/2 e v(x)=2x^4 + 9x^1/3. Calculamos suas derivadas:
u'(x)=3x^2 - tfrac12 x^-1/2,
v'(x)=8x^3 + 3x^-2/3

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
Para u'(x)v(x):
l(3x^2 - tfrac12 x^-1/2r)(2x^4 + 9x^1/3) = 6x^6 + 27x^7/3 - x^7/2 - tfrac92 x^-1/6
Para u(x)v'(x):
l(x^3 - x^1/2r)(8x^3 + 3x^-2/3) = 8x^6 + 3x^7/3 - 8x^7/2 - 3x^-1/6

Passo 5

Somamos os dois resultados e combinamos termos semelhantes:
f'(x)= (6x^6+8x^6) + (27x^7/3+3x^7/3) - (x^7/2+8x^7/2) - (tfrac92 x^-1/6+3x^-1/6)
=14x^6 + 30x^7/3 - 9x^7/2 - tfrac152x^-1/6

Passo 6

Conferimos os expoentes e coeficientes para garantir que não houve nenhum erro na soma dos termos.

Resposta

f'(x) = 14x^6 + 30x^7/3 - 9x^7/2 - 152x^-1/6

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