Sejam e números reais, , e considere a função definida por
Existe a de forma que f seja contínua em x=0?
Passo 1
Estamos estudando continuidade de funções definidas por partes. Aqui a função é dada por três fórmulas diferentes, e queremos que não haja “pulo” em x=0. Para isso, vamos precisar do valor de f(0), do limite à direita em 0 e do limite à esquerda em 0.
Passo 2
Para x≥0 próximo de 0 (mais precisamente 0≤x<1) temos f(x)=1+e^{x}, logo f(0)=1+e^{0}=2. E o limite pela direita também é lim_{x→0+}f(x)=lim_{x→0+}(1+e^{x})=2.
Passo 3
Para x<0 próximo de 0 a expressão é f(x)=sin xraiz[3]x+1a x. Como raiz[3]x+1to1 e sin x/xto1 quando x→0, o limite pela esquerda é lim_{x→0-}f(x)=1/a.
Passo 4
Para garantir continuidade em x=0, precisamos que lim_{x→0-}f(x)=f(0), isto é 1/a=2. Assim, a=1/2.