Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(c) \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}} d x, a>0.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral real
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}\,dx,\qquad a>0.
Informações dadas e o que se precisa encontrar:
  • A constante a é positiva ( a>0).
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}.
  • Deve-se avaliar a integral imprópria no intervalo [0,\infty).

Passo 2

Observação simples que facilita o uso de análise complexa: a função é par, ou seja,
\frac{(-x)^{2}}{((-x)^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}.
Portanto, se definirmos
J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx,
temos a relação
J=2\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx.
Chamando a integral que queremos de I, ou seja \displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx, segue
J=2I \quad\Rightarrow\quad I=\frac{J}{2}.
Logo basta calcular J.

Passo 3

Usaremos integração complexa. Considere a função meromorfa
f(z)=\frac{z^{2}}{(z^{2}+a^{2})^{2}}=\frac{z^{2}}{(z-ia)^{2}(z+ia)^{2}}.
Tomamos o contorno formado pelo eixo real do -R a R mais o semicírculo C_R no semiplano superior de raio R, orientado positivamente. Pelo teorema dos resíduos,
\int_{-R}^{R} f(x)\,dx + \int_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\substack{\text{pólos de }f\\\ \text{no semiplano superior}}} \operatorname{Res}(f;\text{pólo}).óó
Devemos justificar que \displaystyle \int_{C_R} f(z)\,dz\to 0 quando R\to\infty. Para |z|=R grande, |f(z)|\approx \dfrac{|z|^{2}}{|z|^{4}}=\dfrac{1}{|z|^{2}}. Assim o comprimento do arco é \pi R e o módulo da integral no arco é majorado por algo como \dfrac{\pi R}{R^{2}}=\dfrac{\pi}{R}\to0. Portanto, ao passar para o limite R\to\infty,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{pólos de }f\\\ \Im z>0}} \operatorname{Res}(f;z).ó
No nosso caso, os polos são z=ia e z=-ia; somente z=ia está no semiplano superior, e é um polo de ordem 2 (polo duplo). Então
J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx = 2\pi i\; \operatorname{Res}\!\big(f;z=ia\big).

Passo 4

Cálculo da resíduo no polo duplo z_{0}=ia. Para um polo de ordem 2 a fórmula do resíduo é
\operatorname{Res}(f;z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\Big[(z-z_{0})^{2}f(z)\Big].
No nosso caso
(z-ia)^{2}f(z)=\frac{z^{2}}{(z+ia)^{2}}.
Chamando g(z)=\dfrac{z^{2}}{(z+ia)^{2}}, temos
\operatorname{Res}\big(f;ia\big)=\lim_{z\to ia} g'(z).

Passo 5

Calculamos g'(z) passo a passo. Escrevendo g(z)=z^{2}(z+ia)^{-2}, usa-se a regra do produto:
g'(z)=2z\,(z+ia)^{-2} + z^{2}\cdot(-2)(z+ia)^{-3}.
Agora avalia em z=ia. Primeiro calcule z+ia em z=ia:
z+ia\Big|_{z=ia}=ia+ia=2ia.
Calcule cada termo:
  • Primeiro termo:
2z\,(z+ia)^{-2}\Big|_{z=ia}= \frac{2(ia)}{(2ia)^{2}}.
Note que (2ia)^{2}=4i^{2}a^{2}=-4a^{2}. Assim
\frac{2(ia)}{(2ia)^{2}}=\frac{2ia}{-4a^{2}}=-\frac{i}{2a}.
  • Segundo termo:
z^{2}\cdot(-2)(z+ia)^{-3}\Big|_{z=ia} = \frac{-2(ia)^{2}}{(2ia)^{3}}.
Temos (ia)^{2}=-a^{2} e (2ia)^{3}=8i^{3}a^{3}=8(-i)a^{3}=-8ia^{3}. Então
\frac{-2(ia)^{2}}{(2ia)^{3}}=\frac{-2(-a^{2})}{-8ia^{3}}=\frac{2a^{2}}{-8ia^{3}}=-\frac{1}{4ia} .
Simplificando -\dfrac{1}{4ia}: como \dfrac{1}{i}=-i, temos -\dfrac{1}{4ia} = \dfrac{i}{4a}.
Somando os dois termos,
g'(ia) = -\frac{i}{2a} + \frac{i}{4a} = -\frac{i}{4a}.
Portanto
\operatorname{Res}\big(f;ia\big) = -\frac{i}{4a}.

Passo 6

Usando a relação obtida no Passo 3:
J = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}\big(f;ia\big) = 2\pi i\left(-\frac{i}{4a}\right).
Como i\cdot(-i)=1, segue
J = 2\pi \cdot \frac{1}{4a} = \frac{\pi}{2a}.
Lembrando I=\dfrac{J}{2}, obtemos
I=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2a}=\frac{\pi}{4a}.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (para fixar a ideia): faça x=a t. Então
I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}\,dx =\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}\,dt.
Com t=\tan\theta tem-se \dfrac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}\,dt=\sin^{2}\theta\,d\theta e t:0\to\infty corresponde a \theta:0\to\tfrac{\pi}{2}. Assim
\int_{0}^{\infty}\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}\,dt=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{4},
confirmando I=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4a}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4a}

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