Tomamos o contorno formado pelo eixo real do -R a R mais o semicírculo C_R no semiplano superior de raio R, orientado positivamente. Pelo teorema dos resíduos,
\int_{-R}^{R} f(x)\,dx + \int_{C_R} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{\substack{\text{pólos de }f\\\ \text{no semiplano superior}}} \operatorname{Res}(f;\text{pólo}).
Devemos justificar que \displaystyle \int_{C_R} f(z)\,dz\to 0 quando R\to\infty. Para |z|=R grande, |f(z)|\approx \dfrac{|z|^{2}}{|z|^{4}}=\dfrac{1}{|z|^{2}}. Assim o comprimento do arco é \pi R e o módulo da integral no arco é majorado por algo como \dfrac{\pi R}{R^{2}}=\dfrac{\pi}{R}\to0. Portanto, ao passar para o limite R\to\infty,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{pólos de }f\\\ \Im z>0}} \operatorname{Res}(f;z).
No nosso caso, os polos são z=ia e z=-ia; somente z=ia está no semiplano superior, e é um polo de ordem 2 (polo duplo). Então