Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
(d) \frac{1}{2 \pi \mathbf{i}} \oint_{\gamma} f(z) d z, onde f(z)=\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} e \gamma é o triângulo com vértices 1 \pm \mathbf{i ~ e}-3, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz,
onde
f(z)=\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)}
e \gamma é o triângulo com vértices (1+\mathrm{i}),\,(1-\mathrm{i}) e (-3,0), orientado no sentido anti-horário.
As informações que temos do enunciado: os vértices do triângulo e a função racional exponencial dada.

Passo 2

Primeira tarefa prática (determinar quais singularidades estão dentro de \gamma). A função f tem singularidades nos zeros do denominador, ou seja nos pontos
z=0,\quad z=-1,\quad z=-2.
Precisamos verificar quais destes três pontos estão no interior do triângulo com vértices A=(1,1), B=(1,-1), C=(-3,0).
Uma forma clara de ver quais pontos reais x (com \operatorname{Im}x=0) ficam dentro do triângulo é usar coordenadas baricêntricas. Para um ponto P=(x,0) no eixo real escrever
P = uA + vB + wC,\qquad u+v+w=1.
Das componentes imaginárias obtemos u - v = 0, logo u=v. Das componentes reais e da condição da soma obtemos (fazendo as contas)
u=\frac{x+3}{8},\qquad v=\frac{x+3}{8},\qquad w=\frac{1-x}{4}.
Para que P esteja dentro do triângulo é necessário e suficiente que u,v,w\ge 0, o que dá a condição
-3 \le x \le 1.
Os pontos z=0,\,-1,\,-2 têm parte real 0,-1,-2, todos no intervalo [-3,1]. Portanto os três pontos 0,-1,-2 estão dentro do triângulo \gamma.

Passo 3

Usamos o teorema dos resíduos: como f é meromorfa e todas as singularidades dentro de \gamma são polos simples (fatores lineares distintos no denominador), vale
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz = \sum_{\substack{\text{pólos }a\\text{dentro de }\gamma}} \operatorname{Res}(f,a).ó
Assim precisamos calcular as residuais em z=0,\,-1,\,-2 e somá-las.

Passo 4

Regra para pólo simples: se a é pólo simples de f, então
\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z).
Vamos aplicar isso em cada pólo.

Passo 5

Residuo em z=0. Calculamos
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0} z\cdot\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to 0}\frac{e^{z}}{(z+1)(z+2)} =\frac{e^{0}}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Residuo em z=-1. Calculamos
\operatorname{Res}(f,-1)=\lim_{z\to -1}(z+1)\cdot\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to -1}\frac{e^{z}}{z(z+2)} =\frac{e^{-1}}{(-1)\cdot(1)}=-e^{-1}.

Passo 7

Residuo em z=-2. Calculamos
\operatorname{Res}(f,-2)=\lim_{z\to -2}(z+2)\cdot\frac{e^{z}}{z(z+1)(z+2)} =\lim_{z\to -2}\frac{e^{z}}{z(z+1)} =\frac{e^{-2}}{(-2)\cdot(-1)}=\frac{e^{-2}}{2}.

Passo 8

Somando as residuais:
\sum \operatorname{Res}(f,\cdot)=\frac{1}{2}-e^{-1}+\frac{e^{-2}}{2}.
Pelo teorema dos resíduos isso é exatamente o valor de
\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z)\,dz.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}-e^{-1}+\frac{e^{-2}}{2}

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