Utilize resíduos para calcular cada uma das integrais seguintes:
(d)
, onde
e
é o triângulo com vértices
, orientado no sentido anti-horário.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o triângulo com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
As informações que temos do enunciado: os vértices do triângulo e a função racional exponencial dada.
As informações que temos do enunciado: os vértices do triângulo e a função racional exponencial dada.
Passo 2
Primeira tarefa prática (determinar quais singularidades estão dentro de
). A função
tem singularidades nos zeros do denominador, ou seja nos pontos
Precisamos verificar quais destes três pontos estão no interior do triângulo com vértices
,
,
.
Uma forma clara de ver quais pontos reais
(com
) ficam dentro do triângulo é usar coordenadas baricêntricas. Para um ponto
no eixo real escrever
Das componentes imaginárias obtemos
, logo
. Das componentes reais e da condição da soma obtemos (fazendo as contas)
Para que
esteja dentro do triângulo é necessário e suficiente que
, o que dá a condição
Os pontos
têm parte real
, todos no intervalo
. Portanto os três pontos
estão dentro do triângulo
.
Passo 3
Usamos o teorema dos resíduos: como
é meromorfa e todas as singularidades dentro de
são polos simples (fatores lineares distintos no denominador), vale
Assim precisamos calcular as residuais em
e somá-las.
Passo 4
Regra para pólo simples: se
é pólo simples de
, então
Vamos aplicar isso em cada pólo.
Passo 5
Residuo em
. Calculamos
Passo 6
Residuo em
. Calculamos
Passo 7
Residuo em
. Calculamos
Passo 8
Somando as residuais:
Pelo teorema dos resíduos isso é exatamente o valor de