Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(b) \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+4 x+13\right)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral real
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\left(x^{2}+4x+13\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x}{(x^{2}+4x+13)^{2}}.
  • O polinômio do denominador pode ser completado ao quadrado: x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9.
  • A integral é impropria sobre toda a reta real e a função decai como 1/|x|^{3} quando |x|\to\infty, portanto converge absolutamente.

Passo 2

Estratégia (resumo do que vamos fazer): estender o integrando para uma função complexa f(z), fechar o contorno no semicírculo superior e aplicar o Teorema dos Resíduos. Precisaremos encontrar os polos de f no semiplano superior e calcular seus resíduos. Antes disso, identifiquemos explicitamente as raízes do quadrático do denominador.
Completar o quadrado (já apontado acima):
x^{2}+4x+13=(x+2)^{2}+9.
As raízes complexas de x^{2}+4x+13=0 são
z_{0}=-2+3i,\qquad z_{1}=-2-3i.
Assim podemos fatorar
x^{2}+4x+13=(x-z_{0})(x-z_{1}).
O integrando tem então pólos de ordem 2 (devido ao quadrado) em z_{0} e z_{1}.

Passo 3

Definimos a função meromorfa para usar no contorno:
f(z)=\frac{z}{\bigl(z^{2}+4z+13\bigr)^{2}}=\frac{z}{(z-z_{0})^{2}(z-z_{1})^{2}}.
Consideramos o contorno padrão: a reta real de -R a R mais o semicírculo \Gamma_{R} de raio R no semiplano superior, orientado positivamente. Vamos tomar R\to\infty.
Preciso justificar que a contribuição do semicírculo vai a zero quando R\to\infty. Para |z|=R grande,
|f(z)| \le \frac{|z|}{\bigl(|z|^{2}-C\bigr)^{2}}\sim \frac{R}{R^{4}}=\frac{1}{R^{3}},
então o comprimento do semicírculo é \pi R e a integral sobre \Gamma_{R} tem módulo O(R\cdot R^{-3})=O(R^{-2})\to0. Portanto, no limite,
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 2\pi i \sum_{\substack{\text{polos}\\text{em }\Im z>0}}\operatorname{Res}(f; z).

Passo 4

Identifique os polos no semiplano superior: apenas z_{0}=-2+3i (pois z_{1} está no semiplano inferior). Assim
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\left(x^{2}+4x+13\right)^{2}}\,dx =2\pi i\;\operatorname{Res}\bigl(f; z_{0}\bigr).
Agora vamos calcular \operatorname{Res}(f; z_{0}). Como z_{0} é um polo de ordem 2, usamos a fórmula para polo duplo:
\operatorname{Res}(f; z_{0}) =\lim_{z\to z_{0}}\frac{d}{dz}\left[(z-z_{0})^{2}f(z)\right].

Passo 5

Aplicando a fórmula do passo anterior, observe que
(z-z_{0})^{2}f(z)=\frac{z}{(z-z_{1})^{2}}.
Definimos h(z)=\dfrac{z}{(z-z_{1})^{2}}. Então
\operatorname{Res}(f; z_{0})=\lim_{z\to z_{0}} h'(z).
Calculemos h'(z) por derivação direta. Usando a regra do quociente ou produto:
h(z)=z\,(z-z_{1})^{-2},
h'(z)=1\cdot (z-z_{1})^{-2} + z\cdot(-2)(z-z_{1})^{-3}\cdot 1 =(z-z_{1})^{-3}\bigl((z-z_{1})-2z\bigr).
Simplificando o termo entre parênteses:
(z-z_{1})-2z = -z - z_{1}.
Logo
h'(z)=-\frac{z+z_{1}}{(z-z_{1})^{3}}.
Avalie em z=z_{0}:
\operatorname{Res}(f; z_{0})= -\frac{z_{0}+z_{1}}{(z_{0}-z_{1})^{3}}.

Passo 6

Agora calculemos os valores numéricos das quantidades que aparecem:
Primeiro,
z_{0}+z_{1}=(-2+3i)+(-2-3i)=-4.
Em seguida,
z_{0}-z_{1}=(-2+3i)-(-2-3i)=6i.
Então
(z_{0}-z_{1})^{3}=(6i)^{3}=216\,i^{3}=216(-i)=-216\,i.
Substituindo em \operatorname{Res}(f; z_{0}):
\operatorname{Res}(f; z_{0})=-\frac{-4}{-216\,i}=\frac{4}{-216\,i}=-\frac{1}{54\,i}.
É preferível escrever esse número em forma com i no numerador; multiplicando numerador e denominador por i obtemos
-\frac{1}{54\,i}=\frac{i}{54}.
Portanto
\operatorname{Res}(f; z_{0})=\frac{i}{54}.

Passo 7

Finalmente aplicamos o Teorema dos Resíduos:
I=2\pi i\cdot \operatorname{Res}(f; z_{0}) =2\pi i\cdot\frac{i}{54} =2\pi\frac{i^{2}}{54} =2\pi\frac{-1}{54} =-\frac{2\pi}{54}=-\frac{\pi}{27}.
Como verificação rápida (opcional): fazendo a mudança u=x+2 a integral fica
I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{u-2}{(u^{2}+9)^{2}}\,du =-2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(u^{2}+9)^{2}}\,du,
pois o termo com u é ímpar e se anula; e sabe-se (ou se calcula por resíduos) que
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{(u^{2}+a^{2})^{2}}\,du=\frac{\pi}{2a^{3}},
com a=3 \pi/54 e então I=-2\cdot\pi/54=-\pi/27, confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\dfrac{\pi}{27}

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