Utilize resíduos para calcular as seguintes integrais reais:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral real
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é a função racional
. - O polinômio do denominador pode ser completado ao quadrado:
. - A integral é impropria sobre toda a reta real e a função decai como
quando , portanto converge absolutamente.
Passo 2
Estratégia (resumo do que vamos fazer): estender o integrando para uma função complexa
, fechar o contorno no semicírculo superior e aplicar o Teorema dos Resíduos. Precisaremos encontrar os polos de
no semiplano superior e calcular seus resíduos. Antes disso, identifiquemos explicitamente as raízes do quadrático do denominador.
Completar o quadrado (já apontado acima):
As raízes complexas de
são
Assim podemos fatorar
O integrando tem então pólos de ordem
(devido ao quadrado) em
e
.
Passo 3
Definimos a função meromorfa para usar no contorno:
Consideramos o contorno padrão: a reta real de
a
mais o semicírculo
de raio
no semiplano superior, orientado positivamente. Vamos tomar
.
Preciso justificar que a contribuição do semicírculo vai a zero quando
. Para
grande,
então o comprimento do semicírculo é
e a integral sobre
tem módulo
. Portanto, no limite,
Passo 4
Identifique os polos no semiplano superior: apenas
(pois
está no semiplano inferior). Assim
Agora vamos calcular
. Como
é um polo de ordem
, usamos a fórmula para polo duplo:
Passo 5
Aplicando a fórmula do passo anterior, observe que
Definimos
. Então
Calculemos
por derivação direta. Usando a regra do quociente ou produto:
Simplificando o termo entre parênteses:
Logo
Avalie em
:
Passo 6
Agora calculemos os valores numéricos das quantidades que aparecem:
Primeiro,
Em seguida,
Então
Substituindo em
:
É preferível escrever esse número em forma com
no numerador; multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Portanto
Passo 7
Finalmente aplicamos o Teorema dos Resíduos:
Como verificação rápida (opcional): fazendo a mudança
a integral fica
pois o termo com
é ímpar e se anula; e sabe-se (ou se calcula por resíduos) que
com
dá
e então
, confirmando o resultado anterior.