Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (que vou usar depois):
- Para todo
vale . - Os termos da série são positivos, pois
para todo .
Passo 2
Vou lembrar os conceitos essenciais (aquelas coisinhas que caem direto na prova):
- Uma série
converge somente se o termo geral tender a zero quando . Mais precisamente, se então a série diverge. Esse é o teste do termo geral (condição necessária para convergência). - Uma série é absolutamente convergente se
converge. Se a série converge mas diverge, dizemos que ela é condicionalmente convergente. - No caso de termos
, a série e a série dos valores absolutos são a mesma coisa (porque ).
Vou aplicar o teste do termo geral aqui, porque é o caminho mais direto quando dá pra mostrar que os termos não vão a zero.
Passo 3
Usando a desigualdade
para todo
, temos
Invertendo (como os denominadores são positivos) obtemos
Ou seja, para todo
vale
Passo 4
Da desigualdade do passo anterior segue que os termos da série são sempre maiores ou iguais a
. Em particular, a sequência dos termos não tende a zero; mais formalmente,
Pelo teste do termo geral, se o termo não tende a zero a série diverge. Como os termos são positivos, a soma dos módulos é a própria série, então a série não converge absolutamente nem condicionalmente — ela simplesmente diverge.
Resposta
Divergente