Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2+\operatorname{sen} k}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2+\operatorname{sen} k}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (que vou usar depois):
  • Para todo k vale -1 \le \operatorname{sen} k \le 1.
  • Os termos da série são positivos, pois 2+\operatorname{sen} k \ge 1>0 para todo k.

Passo 2

Vou lembrar os conceitos essenciais (aquelas coisinhas que caem direto na prova):
  • Uma série \sum a_k converge somente se o termo geral a_k tender a zero quando k\to\infty. Mais precisamente, se \lim_{k\to\infty} a_k \ne 0 então a série diverge. Esse é o teste do termo geral (condição necessária para convergência).
  • Uma série é absolutamente convergente se \sum |a_k| converge. Se a série converge mas \sum |a_k| diverge, dizemos que ela é condicionalmente convergente.
  • No caso de termos a_k\ge0, a série e a série dos valores absolutos são a mesma coisa (porque |a_k|=a_k).
Vou aplicar o teste do termo geral aqui, porque é o caminho mais direto quando dá pra mostrar que os termos não vão a zero.

Passo 3

Usando a desigualdade \operatorname{sen} k \le 1 para todo k, temos
2+\operatorname{sen} k \le 2+1 = 3.
Invertendo (como os denominadores são positivos) obtemos
\frac{1}{2+\operatorname{sen} k} \ge \frac{1}{3}.
Ou seja, para todo k vale
\frac{1}{2+\operatorname{sen} k} \ge \frac{1}{3}.

Passo 4

Da desigualdade do passo anterior segue que os termos da série são sempre maiores ou iguais a \tfrac{1}{3}. Em particular, a sequência dos termos não tende a zero; mais formalmente,
\liminf_{k\to\infty} \frac{1}{2+\operatorname{sen} k} \ge \frac{1}{3} \neq 0.
Pelo teste do termo geral, se o termo não tende a zero a série diverge. Como os termos são positivos, a soma dos módulos é a própria série, então a série não converge absolutamente nem condicionalmente — ela simplesmente diverge.

Resposta

Divergente

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